Jautājumu piemēri par apļiem un pieskarēm
Apļi ir svarīga tēma matricu ģeometrijā, kur tiek demonstrēti dziļi jēdzieni par attālumu, leņķiem un formu. Viens no šajā tēmā bieži apspriestajiem jēdzieniem ir apļa pieskare. Šajā rakstā mēs apspriedīsim vairākus piemērus problēmām, kas saistītas ar apļiem un pieskarēm.
Apļu un pieskaru pamatzināšanas
Lingkaran
Aplis ir ģeometriska forma, ko veido visu plaknes punktu kopa, kas atrodas fiksētā attālumā no dotā punkta, ko sauc par apļa centru. Šo fiksēto attālumu sauc par apļa rādiusu.
Pieskāriens
Apļa pieskare ir līnija, kas pieskaras aplim tieši vienā punktā. Šo punktu sauc par pieskares punktu. Pieskarēm ir vairākas svarīgas īpašības, tostarp:
– Pieskares līnija vienmēr ir perpendikulāra apļa rādiusam pieskares punktā.
– Pieskares garums no punkta ārpus riņķa līnijas uz riņķa līniju ir vienāds, ja no šī punkta tiek novilktas divas pieskares.
Parauga jautājumi un diskusijas
Zemāk mēs sniegsim vairākus jautājumu piemērus, kuros detalizēti aplūkots apļa un pieskares jēdziens.
1. piemēra jautājums: pieskares līnijas garuma atrašana
Jautājums:
Dots riņķa līnija ar centru \(O\) un rādiusu \(r = 6 \, \text{cm}\). No punkta \(P\) ārpus riņķa līnijas, kas atrodas 10 cm attālumā no riņķa līnijas centra, riņķa līnijai tiek novilktas divas pieskares \(PA\) un \(PB\). Aprēķiniet pieskares \(PA\) garumu.
Diskusija:
Šajā uzdevumā mēs varam izmantot Pitagora teorēmu. Uzzīmējiet trijstūri \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (attālums no ārējā punkta līdz apļa centram)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (apļa rādiuss)
– \(PA\) ir pieskare, kas jāatrod
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = ∫qrt{64} = 8, cm}
\]
Tātad pieskares līnijas \(PA\) garums ir 8 cm.
2. jautājuma piemērs: Pieskares punkta atrašana
Jautājums:
Dots riņķa līnija ar vienādojumu \(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) un taisne \(y = 2x + 1\). Nosakiet riņķa līnijas un taisnes pieskares punktu.
Diskusija:
Vispirms mēs nosakām apļa centru un rādiusu:
– Centrs \(O(3, 4)\)
– Rādiuss (r = √25⁻² = 5)
Lai atrastu pieskares punktu, pieņemsim, ka pieskares punkts ir \(T(x_1, y_1)\), kas arī atrodas uz taisnes \(y = 2x + 1\). Tad:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
Frāzei \(T(x_1, y_1)\) jāatbilst arī apļa vienādojumam:
\[
(x_1–3)^2 + (y_1–4)^2 = 25
\]
Aizvietojiet \(y_1 = 2x_1 + 1\) apļa vienādojumā:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Mums jāaprēķina divi kvadrāti.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Apvienojiet abus rezultātus:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Atņemiet 25 no abām pusēm:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Atrisiniet kvadrātvienādojumu:
\[
x_1 = ∫\frac{18\pm\sqrt{18^2 + 4 x 5 \x 7}}{2 x 5}
\]
\[
x_1 = ∫\frac{18\pm\sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = ∫\frac{18\pm\qrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = ∫\frac{18\pm2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = ∫\frac{18\pm²\sqrt{4 × 29}}{10}
\]
\[
x_1 = ∫\frac{18\pm4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4 \qrt{29}
\]
Aprēķiniet \(y_1\) vērtību:
Kurš apmierina y = 2x + 1:
– Ja \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), tad \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Ja \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), tad \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Novērtējums:
Tātad mēs iegūstam divus riņķa līnijas vienādojuma krustpunktus ar šo taisni.
3. piemēra jautājums: pieskares līnijas vienādojuma noteikšana
Jautājums:
Dots riņķa līnija ar vienādojumu \(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Nosakiet riņķa līnijas pieskares līnijas vienādojumu, kas iet caur punktu \(6, 7)\).
Diskusija:
Apļa pieskari ar centru \(h, k)\) un rādiusu \(r\) no zināma ārējā punkta var atrast pēc vienādojuma:
Tangenss iet caur ārējo punktu \(x_1, y_1)\):
\[
(x – 2) (x_1 – 2) + (y – 3) (y_1 – 3) = 20
\]
Aizvietojiet ārējo punktu \(6, 7)\):
\[
(x – 2) (6 – 2) + (y – 3) (7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Tangences līnijas vienādojums ir:
\[
x + y = 9
\]
Tātad līnijas vienādojuma variācija caur riņķa līnijas punktu ir ļoti liela un var mainīties atkarībā no rezultāta vai vizuālā attēlojuma.
Secinājums
Apspriešana par riņķa līnijām un pieskarēm aptver vairākus matemātikas pamataspektus, sākot ar tādu vienkāršu formulu kā Pitagora teorēmas pielietošanu līdz kvadrātvienādojumu risināšanai. Ar šo piemēru palīdzību mēs varam labāk izprast, kā šos jēdzienus pielietot diezgan sarežģītās situācijās. Cerams, ka šis raksts ir palīdzējis sniegt skaidru priekšstatu par to, kā risināt problēmas, kas saistītas ar riņķa līnijām un pieskarēm.
