Diskusijas jautājuma piemērs par normālo sadalījumu
Normālais sadalījums, kas pazīstams arī kā Gausa sadalījums, ir statistikā visbiežāk izmantotais varbūtības sadalījums. Šim sadalījumam ir simetriska zvana forma, kas norāda, ka dati ir izvietoti ap vidējo vērtību un galējību (vērtības, kas ir tālu no vidējās vērtības) varbūtība ir zema.
Šajā rakstā mēs apspriedīsim dažādus normālā sadalījuma problēmu piemērus un to risināšanas veidus. Sākumā iepazīstināsim ar dažiem pamatjēdzieniem un pēc tam pāriesim pie sarežģītākiem piemēriem.
Normālā sadalījuma pamati
Normālais sadalījums ir nepārtraukts sadalījums ar diviem parametriem: vidējo vērtību un standartnovirzi (SN). Vidējā vērtība nosaka sadalījuma centru, savukārt standartnovirze nosaka sadalījuma platumu.
Normālā sadalījuma svarīgākās īpašības:
1. Simetrija: Normālais sadalījums ir simetrisks attiecībā pret vidējo vērtību.
2. Empīriskais noteikums (empīriskais noteikums):
– Aptuveni 68 % datu atrodas vienas standartnovirzes robežās no vidējā rādītāja.
– Aptuveni 95 % datu atrodas divu standartnoviržu robežās no vidējā rādītāja.
– Aptuveni 99.7 % datu atrodas trīs standartnoviržu robežās no vidējā rādītāja.
Parauga jautājumi un diskusija
1. piemēra jautājums: Z-rādītāja aprēķināšana
Jautājums: Eksāmena vidējais rezultāts ir 70 ar standartnovirzi 10. Students iegūst 80 punktus. Kāds ir studenta Z-rezultāts?
Risinājums:
Z-rādītājs ir mērs, kas parāda, cik daudz standarta noviržu vērtība ir no vidējā rādītāja.
Z-rādītāja formula:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Kur:
– \(X \) ir novērotā vērtība.
– \( \mu \) ir vidējais rādītājs.
– \( \sigma \) ir standartnovirze.
Ir zināms:
– \(X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Formulas piemērošana:
\[ Z = \frac{80–70}{10} = 1\]
Tātad, studenta Z-rādītājs ir 1, kas nozīmē, ka rezultāts 80 ir viena standartnovirze virs vidējā rādītāja.
2. piemēra jautājums: noteiktas vērtības varbūtība
Jautājums: Normālā sadalījumā ar vidējo vērtību 100 un standartnovirzi 15, kāda ir varbūtība atrast vērtību zem 85?
Risinājums:
Soļi:
1. Aprēķiniet Z-rādītāju vērtībai \(X = 85 \):
\[ Z = \frac{85–100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Izmantojiet Z tabulu vai statistisko kalkulatoru, lai atrastu varbūtību, kas atbilst Z rādītājam -1. Z tabulā Z rādītāja -1 varbūtība ir aptuveni 0.1587.
Tātad varbūtība atrast vērtību zem 85 ir 0.1587 jeb 15.87%.
3. piemēra jautājums: Empīrisku noteikumu izmantošana
Jautājums: Ir zināms, ka matemātikas testa rezultātu sadalījums skolās atbilst normālam sadalījumam ar vidējo vērtību 75 un standartnovirzi 8. Kāda skolēnu daļa ieguva rezultātu no 67 līdz 83?
Risinājums:
Langkah-langkah:
1. Aprēķiniet Z-rādītāju vērtībām 67 un 83:
\[ Z_{67} = \frac{67–75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83–75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Saskaņā ar empīriskiem noteikumiem vērtības starp -1 SD un +1 SD no vidējā rādītāja aptver aptuveni 68% iedzīvotāju.
Tātad to studentu īpatsvars, kuri ieguva rezultātu no 67 līdz 83 punktiem, bija aptuveni 68%.
4. piemēra jautājums: vērtību aprēķināšana no procentīlēm
Jautājums: Ja pieaugušu vīriešu vidējais augums valstī ir 175 cm ar standartnovirzi 7 cm, kāds augums ir 90. procentīlē?
Risinājums:
Langkah-langkah:
1. Atrodiet Z-rādītāju, kas atbilst 90. procentīlei. Pamatojoties uz Z-tabulu, Z-rādītājs, kas ir vistuvākais 0.9000, ir aptuveni 1.28.
2. Izmantojiet formulu, lai aprēķinātu \(X \) vērtību:
\[X = \mu + Z \x \sigma \]
\[X = 175 + 1.28 x 7 \]
\[X = 175 + 8.96 \]
\[X = 183.96 \]
Tātad, augums 90. procentilē ir aptuveni 183.96 cm.
5. piemēra jautājums: noteikta intervāla varbūtība
Jautājums: Ņemot vērā, ka jaundzimušo svara sadalījums atbilst normālam sadalījumam ar vidējo vērtību 3.5 kg un standartnovirzi 0.5 kg, kāda ir varbūtība, ka mazuļa svars ir no 3 kg līdz 4 kg?
Risinājums:
Langkah-langkah:
1. Aprēķiniet Z-rādītāju vērtībām 3 kg un 4 kg:
\[ Z_{3} = \frac{3–3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4–3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Z-rādītāja varbūtība starp -1 un 1, pamatojoties uz Z tabulu, ir aptuveni 0.6826 jeb 68.26 %.
Tātad, varbūtība, ka bērns sver no 3 līdz 4 kg, ir aptuveni 68.26%.
Secinājums
Normālais sadalījums ir statistikas pamatjēdziens, kam ir izšķiroša nozīme un daudz reālās pasaules pielietojumu. Šajā rakstā mēs esam izskaidrojuši normālā sadalījuma pamatjēdzienus un atrisinājuši vairākus piemērus, lai padziļinātu mūsu izpratni.
Normālā sadalījuma izpratne ir svarīga ne tikai statistikā, bet arī dažādās praktiskās jomās, piemēram, psiholoģijā, ekonomikā un citās sociālajās zinātnēs. Ar pietiekamu praksi normālā sadalījuma problēmu risināšana var kļūt intuitīvāka un palīdzēt uz datiem balstītā lēmumu pieņemšanā.
