11 vienmērīgu apļveida kustību problēmu piemēri
1. Daļiņa pārvietojas pa apli ar nemainīgu leņķisko ātrumu 10 rad/s. Nosakiet (a) daļiņas leņķisko ātrumu pēc 10 sekundēm (b) leņķi, ko daļiņa veido pēc 10 sekundēm.
Diskusija
(a) leņķiskais ātrums pēc 10 sekundēm
Daļiņa pārvietojas pa vienmērīgu apli = daļiņa pārvietojas ar nemainīgu leņķisko ātrumu. Tātad leņķiskais ātrums pēc 10 sekundēm paliek 10 radiāni/sekundē.
(b) leņķis, kas iestājies pēc 10 sekundēm
Konstants leņķiskais ātrums 10 radiāni/sekundē nozīmē, ka ik pēc 1 sekundes daļiņa pagriežas par 10 radiānu leņķi. Pēc 2 sekundēm daļiņa ir pagriezusies par 2 x 10 = 20 radiānu leņķi. Pēc 10 sekundēm daļiņa ir pagriezusies par 10 x 10 radiānu = 100 radiānu leņķi.
2. Punkts uz cilindra malas pārvietojas pa apli ar nemainīgu ātrumu 10 m/s. Cilindra rādiuss = 1 metrs. Nosakiet (a) cilindra malas ātrumu 5 sekundes vēlāk; b) attālumu, ko cilindra mala veic 5 sekundes vēlāk; c) centripetālo paātrinājumu punktiem, kas atrodas 0,5 metru un 1 metra attālumā no rotācijas ass.
Diskusija
() punkta ātrums uz cilindra malas pēc 5 sekundēm
Cilindrs pārvietojas pa apli ar nemainīgu ātrumu, tāpēc pēc 5 sekundēm cilindra malas ātrums joprojām ir 10 metri sekundē.
(B) attālums, ko punkts uz cilindra malas veic pēc 5 sekundēm
Bez formulas
Ātrums 10 metri/sekundē nozīmē, ka ik pēc 1 sekundes punkts uz cilindra malas pārvietojas par 10 metriem. Pēc 1 sekundes punkts uz cilindra malas pārvietojas par 10 metriem. Pēc 2 sekundēm punkts uz cilindra malas pārvietojas par 20 metriem. Pēc 5 sekundēm punkts uz cilindra malas pārvietojas pa apli 50 metrus.
Izmantojot formulu :
v = s/t
s = vt = (10)(5) = 50 metri
(C) centripetāls paātrinājums (as)
Centripetālais paātrinājums punktam, kas atrodas 0,5 metra attālumā no ass, ir:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 0,5 = 200 m/s2
Centripetālais paātrinājums punktam, kas atrodas 1 metra attālumā no ass, ir:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 1 = 100 m/s2
3. Grozāmais galds ar rādiusu 2 metri pārvietojas ar nemainīgu leņķisko ātrumu 60 apgr./min. Nosakiet (a) grozāmā galda leņķisko ātrumu 2 sekundes vēlāk; (b) leņķi, ko ierobežo grozāmais galds pēc 1 minūtes; (b) tangenciālo ātrumu, centripetālo paātrinājumu un attālumu, ko veic punkts 1 metra attālumā no rotācijas ass; (c) tangenciālo ātrumu, centripetālo paātrinājumu un attālumu, ko veic punkts uz grozāmā galda malas.
Diskusija
Ir zināms :
Jawab :
() leņķiskais ātrums ( ) pēc 2 sekundēm
Leņķiskais ātrums ir nemainīgs, tāpēc pēc 2 sekundēm grozāmā galda leņķiskais ātrums paliek 6,28 radiāni/sekundē.
(B) stūris ( ) pēc 1 minūtes ieskauj grozāmais atskaņotājs
Leņķiskais ātrums 1 apgrieziens sekundē nozīmē, ka katru sekundi grozāmais galds veic vienu apgriezienu. Pēc 60 sekundēm grozāmais galds ir veicis 60 apgriezienus. Citiem vārdiem sakot,
Leņķiskais ātrums 6,28 radiāni/sekundē nozīmē, ka katru sekundi grozāmais disks pagriežas par 6,28 radiānu leņķi. Pēc 60 sekundēm grozāmais disks ir pagriezies par 376,8 radiānu leņķi.
4. Automašīnas ritenis vienmēr veic 120 apgriezienus ik pēc 60 sekundēm. Kāds ir riteņa leņķiskais ātrums? Norādiet to: (a) apgriezieni minūtē (rpm) vai apgriezieni minūtē (b) grādi sekundē (o/s) (c) radiāni sekundē (rad/s)
Diskusija
() riteņa leņķiskais ātrums apgriezienu vienībās minūtē (rpm)
120 apgriezieni / 60 sekundes = 120 apgriezieni / 1 minūte = 120 apgriezieni / minūtē = 120 apgr./min
(B) riteņa leņķiskais ātrums grādos sekundē (o/ s)
1 rotācija = 360 grādio, 120 apgriezieni = 43200o
Tātad 120 apgriezieni / 60 sekundes = (120)(360o) / 60 sekundes = 43200o / 60 sekundes = 720o/sekundē
(C) riteņa leņķiskais ātrums radiānos/sekundē (rad/s)
1 rotācija = 6,28 radiāni
Tātad 120 apgriezieni / 60 sekundes = (120)(6,28) radiāni / 60 sekundes = 753,6 radiāni / 60 sekundes = 12,56 radiāni/sekundē
5. Bumbiņa ir vērpta apaļā bļodā ar diametru 1 m. Ja bumbiņa griežas ap bļodas malu ar nemainīgu leņķisko ātrumu 50 apgr./min, tad bumbiņas lineārais ātrums un centripetālais paātrinājums ir….
A. 50 ms-1 un 2500 ms-2
B. 5π ms-1 un 25π2 kundze-2
C. 5π/3 ms-1 un 25π2/18 ms-2
D. 5π/6 ms-1 un 25π2/18 ms-2
E. 5π/12 ms-1 un 25π2/36 ms-2
Diskusija
Ir zināms, ka:
Apļa diametrs (D) = 1 metrs
Apļa rādiuss (r) = 0,5 metri
Leņķiskais ātrums (ω) = 50 apgr./min = 50 apgriezieni / 1 minūte
1 apgrieziens = 2π radiāni
50 apgriezieni = 50 (2π radiāni) = 100π radiāni
1 minūte = 60 sekundes
Leņķiskais ātrums (ω) = 100π radiāni / 60 sekundes = (10π/6) radiāni/sekundē
Jautājums: Lineārais ātrums (v) un centripetālais paātrinājums (a)s)
Atbilde:
Lineārais ātrums (v):
v = r ω = (0,5) (10π/6) = 5π/6 m/s
Centripetālais paātrinājums (a)s):
as = v2/r = (5π/6)2 : 0,5 = 25π2/36: 0,5 = (25π2/36)(1/0,5)
as = (25π2/18) m/s2
Pareizā atbilde ir D.
6. Objekts pārvietojas pa apli ar 50 cm rādiusu. Ja objekts griežas ar ātrumu 120 apgr./min, tad objekta griešanās laiks un ātrums ir attiecīgi….
A. 0,5 s un 2π ms-1
B. 0,5 s un 0,2π ms-1
C. 0,5 s un π ms-1
D. 2 s un 5π ms-1
E. 2 s un 10π ms-1
Diskusija
Ir zināms, ka:
Rādiuss (r) = 50 cm = 0,5 metri
Leņķiskais ātrums (ω) = 120 apgr./min = 120 apgriezieni / 1 minūte = 120 apgriezieni / 60 minūtes = 2 apgriezieni / 1 sekunde
1 apgrieziens = 2π radiāni
Leņķiskais ātrums (ω) = 2 (2π radiāni) / 1 sekunde = 4π radiāni/sekundē
Jautājums: Rotācijas laiks (T) un lineārais ātrums (v)
Atbilde:
Cikla laiks vai periods (T):
Periods ir laiks, kas nepieciešams objektam, lai veiktu vienu apgriezienu.
Objekts veic 2 apgriezienus 1 sekundē = objekts veic 1 apgriezienu ik pēc 0,5 sekundēm. Tātad rotācijas laiks jeb periods ir 0,5 sekundes.
Objekta ātrums (v):
v = r ω = (0,5 metri)(4π radiāni/sekundē) = 2π metri/sekundē
Pareizā atbilde ir A.
Lai labāk izprastu šī jautājuma apspriešanu, izpētiet materiālu par apļveida kustību un regulāru apļveida kustību .
7. Ritenis ar rādiusu 10 cm vienmērīgi griežas, veicot 180 apgriezienus minūtē. Riteņa malas punkta lineārais ātrums ir…
Diskusija
Ir zināms, ka:
Jautāja:
Lineārais ātrums (v)?
Atbilde:
Punkts uz riteņa malas atrodas 0,1 metra attālumā no riteņa centra.
Pareizā atbilde ir A.
8. Objekts pārvietojas ar nemainīgu ātrumu v pa apļa trajektoriju ar rādiusu R un centripetālu paātrinājumu (as). Tā, lai centripetālais paātrinājums kļūtu trīs reizes lielāks par sākotnējo, tad...
A. v tiek atkārtots 4 reizes un R tiek atkārtots vēlreiz 2 reizes
B. v tiek atkārtots 2 reizes un R tiek atkārtots 4 reizes
C. v tiek atkārtots 3 reizes, un R tiek atkārtots vēlreiz 3 reizes
D. v paliek spēkā un R atkal tiek dubultots
E. v atkal tiek dubultots, un R paliek nemainīgs
Diskusija
Pareizā atbilde ir C.
9. Riteņi A, B un C ir savienoti viens ar otru, kā parādīts attēlā. Ja riteņu A, B un C rādiusi ir attiecīgi 10 cm, 4 cm un 2 cm un ritenis B griežas ar leņķisko ātrumu 5 rad.s.-1 Tad ritenis C griežas ar leņķisko ātrumu….
A. 80 rad./s-1
B. 55 rad./s-1
Aptuveni 40 rad./s-1
D. 25 rad./s-1
E. 10 rad./s-1
Diskusija
Ir zināms, ka:
Atbilde:
Attiecība starp riteni A un riteni B
Riteņi A un B ir savienoti viens ar otru, tāpēc tie griežas kopā. Tā kā tie griežas kopā, riteņa A leņķiskais ātrums ir vienāds ar riteņa B leņķisko ātrumu.
Riteņa A un riteņa C savstarpējā saistība
Riteņa A apkārtmērs ir daudz lielāks nekā riteņa C apkārtmērs. Ja ritenis C ir pagriezies par 360 grādiemo vai veiciet vienu apgriezienu, vienlaikus ritenis A nav sasniedzis 360 grāduso vai vienu apgriezienu. Tādējādi riteņa A leņķiskais ātrums nav tāds pats kā riteņa C leņķiskais ātrums.
Tomēr riteņi A un C ir savienoti ar virvi. Tā kā tie ir savienoti ar virvi, vienā un tajā pašā laika intervālā riteņa A malas nobrauktais attālums ir vienāds ar riteņa C malas nobraukto attālumu. Tātad riteņa A lineārais ātrums ir = riteņa B lineārais ātrums.
Secinājums:
Pareizā atbilde ir D.
10. Objekts arvienmērīga apļveida kustība ar 6 metru rādiusu. Ja 2 minūšu laikā objekts veic 16 pagriezienus, tad lineārais ātrums objekts ir….
A. 0,8 p ms-1
B. 1,0 pms-1
C. 1,2 pēcpusdienā m/s-1
D. 1,4 pms-1
E. 13:00 ms-1
Diskusija
Ir zināms, ka:
Rādiuss (r) = 6 metri
Leņķiskais ātrums (ω) = 16 apgriezieni / 2 minūtes = 8 apgriezieni / minūtē = 8 apgriezieni / 60 sekundes = 0,13 apgriezieni / sekundē.
Jautāts: lineārais ātrums (v)?
Atbilde:
Lineārā ātruma (v) un attiecības formula leņķiskais ātrums (ω):
v = r ω = (6 metri)(0,13 apgriezieni sekundē) = 0,8 apgriezieni metri sekundē
Pareizā atbilde ir A.
Ja izteikts radiānos:
1 apgrieziens = 2π radiāni = 2(3,14) = 6,28 radiāni
Leņķiskais ātrums = 8 (6,28) radiāni / 60 sekundes = 50,24 radiāni / 60 sekundes = 0,84 radiāni/sekundē
v = r ω = (6 metri)(0,84 radiāni/sekundē) = 5,04 radiāni/sekundē
11. Ventilatora propelleris ar rādiusu 20/π cm var apgriezties 4 reizes 1 sekundē. Propellera gala lineārais ātrums ir…
A. 3,2 ms-1
B. 1,6 ms-1
C. 1,3 ms-1
D. 1,0 ms-1
E. 0,8 ms-1
Diskusija
Ir zināms, ka:
Rādiuss (r) = 20/π m = 20 / 3,14 cm = 6,4 cm = 0,064 metri
Leņķiskais ātrums (ω) = 4 apgriezieni / 1 sekunde = 4 apgriezieni/sekundē
1 apgrieziens = (2)(3,14) radiāni = 6,28 radiāni
Leņķiskais ātrums (ω) = (4)(6,28) radiāni/sekundē = 25,12 radiāni/sekundē
Jautājums: propellera gala lineārais ātrums (v)?
Atbilde:
v = r ω = (0,064 metri)(25,12 radiāni/sekundē) = 1,6 metri/sekundē
Pareizā atbilde ir B.
