Stygos ilgio, stygos masės, dažnio ir stygos įtempimo formulės
Pengantaras
Stygos yra gyvybiškai svarbi daugelio muzikos instrumentų, pradedant gitaromis ir baigiant smuikais, dalis. Stygos ilgis, masė, dažnis ir įtempimas vaidina lemiamą vaidmenį nustatant jos sukuriamo garso aukštį ir kokybę. Šiame straipsnyje aptarsime, kaip šie parametrai yra susiję tarpusavyje per fiziką ir kaip jie taikomi praktikoje, ypač muzikos instrumentų kontekste.
Stygos ilgis
Stygos ilgis (\(L\)) yra atstumas tarp dviejų taškų, prie kurių styga pritvirtinta arba laikoma. Muzikos instrumentuose šis ilgis paprastai matuojamas nuo taško, kuriame styga pradeda vibruoti, iki taško, kuriame ji nustoja vibruoti.
Stygos ilgis turi įtakos jos pagrindiniam dažniui. Apskritai, kuo ilgesnė styga, tuo žemesnį dažnį ji sukuria. Ryšį tarp stygos ilgio ir dažnio galima pamatyti pagrindinėje stovinčios bangos ant stygos lygtyje:
\[f = \frac{n}{2L} \qrt{\frac{T}{\mu}} \]
Kur:
– ∫f yra dažnis (Hz),
– \(n \) yra harmoninis skaičius (1 – pagrindinis dažnis, 2 – antrasis dažnis ir t. t.),
– \(L \) yra stygos ilgis (metrais),
– \(T \) yra stygos įtempimas (Niutonais),
– \( \mu \) yra stygos masė ilgio vienete (kg/m).
Styginių mišios
Stygos masė (\(m\)) yra bendra stygos masė. Masė ilgio vienete (\(\mu\)) yra stygos masė, tenkanti vienam stygos ilgio metrui, ir išreiškiama taip:
[mu = √(mL)]
Kur:
– \(m \) yra bendra stygos masė (kg),
– \(L \) yra stygos ilgis (metrais).
Ši masė ilgio vienetui yra labai svarbi nustatant stygos virpesių dažnį. Kuo didesnė \(\mu\), tuo mažesnį dažnį sukuria styga. Taip yra todėl, kad sunkesnėms stygoms reikia daugiau energijos, kad jos vibruotų tam tikru dažniu.
Stygų dažnis
Dažnis (\(f\)) yra stygos sukeliamų virpesių skaičius per sekundę. Vibruojančios stygos pagrindinis dažnis (\(f_1\)) yra žemiausias dažnis ir gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:
\[f_1 = \frac{1}{2L} \qrt{\frac{T}{\mu}} \]
Harmoninį dažnį taip pat galima apskaičiuoti pagal šią formulę, į lygtį įstatant harmoninį skaičių \(n\):
\[f_n = \frac{n}{2L} \qrt{\frac{T}{\mu}} \]
Kur:
– \(f_n \) yra n-tosios harmonikos dažnis (Hz),
– \(n \) yra harmoninis skaičius.
Stygų įtempimas
Įtempimas (\(T\)) – tai jėga, kuria veikiama styga, kad ji įtemptų. Šis įtempimas matuojamas niutonais (N) ir yra svarbus veiksnys, lemiantis stygos virpesių dažnį.
Jei stygos įtempimas didėja, didėja ir vibracijos dažnis. Šį ryšį galima paaiškinti naudojant aukščiau pateiktą pagrindinę dažnio formulę:
\[f = \frac{1}{2L} \qrt{\frac{T}{\mu}} \]
Iš šios formulės matome, kad dažnis yra tiesiogiai proporcingas įtampos kvadratinei šakniai. Tai reiškia, kad padvigubinus įtampą, dažnis padidės dvigubai, padauginus kvadratinę šaknį iš dviejų.
Skaičiavimo pavyzdys
Pažvelkime į keletą skaičiavimų pavyzdžių, kad geriau suprastume stygos ilgio, masės, dažnio ir įtempimo ryšį.
1 pavyzdys: Stygos dažnio nustatymas
Tarkime, kad turime 1 metro ilgio stygą, kurios bendra masė yra 0.01 kg, o įtempimas – 100 N. Norime nustatyti šios stygos pagrindinį dažnį.
1. Apskaičiuokite masę ilgio vienetui:
\[ \mu = \frac{m}{L} = \frac{0.01}{1} = 0.01 \, \text{kg/m} \]
2. Naudokite pagrindinę dažnio formulę:
\[f_1 = \frac{1}{2L} \qrt{\frac{T}{\mu}} \]
\[f_1 = \frac{1}{2 \x 1} \sqrt{\frac{100}{0.01}} \]
[f_1 = ∫frac{1}{2} ∫qrt{10000}]
\[f_1 = \frac{1}{2} \x 100 \]
[f_1 = 50, Hz]
Taigi, šios stygos pagrindinis dažnis yra 50 Hz.
2 pavyzdys: Reikalingos įtampos nustatymas
Tarkime, norime nustatyti įtempimą, reikalingą 0.5 metro ilgio ir 0.02 kg bendros masės stygai, kad būtų sukurtas 440 Hz pagrindinis dažnis (standartinis natos A dažnis).
1. Apskaičiuokite masę ilgio vienetui:
\[ \mu = \frac{m}{L} = \frac{0.02}{0.5} = 0.04 \, \text{kg/m} \]
2. Naudokite pagrindinę dažnio formulę ir išspręskite \(T\):
\[f_1 = \frac{1}{2L} \qrt{\frac{T}{\mu}} \]
\[440 = \frac{1}{2 × 0.5} \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[440 = \frac{1}{1} \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[440 = \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[440^2 = \frac{T}{0.04} \]
\[193600 = \frac{T}{0.04} \]
\[T = 193600 × 0.04 \]
\[T = 7744 \, \text{N} \]
Taigi, 440 Hz pagrindiniam dažniui sukurti reikalinga įtampa yra 7744 N.
Praktinis pritaikymas
1. Alat Musik
Stygos naudojamos įvairiuose muzikos instrumentuose, įskaitant gitaras, smuikus ir pianinus. Norint tinkamai suderinti instrumentą ir išgauti norimą toną, būtina suprasti stygų ilgio, masės, dažnio ir įtempimo santykį.
2. Technologijos
Stygos taip pat naudojamos šiuolaikinėse technologijose, pavyzdžiui, jutikliuose ir matavimo prietaisuose. Pavyzdžiui, tenzometras naudoja stygos įtempimo pokyčius medžiagos deformacijai ir įtempiui matuoti.
3. Moksliniai tyrimai ir švietimas
Fizikos ugdyme ir tyrimuose eksperimentai su stygomis naudojami bangoms ir vibracijoms tirti. Tai padeda mokiniams suprasti pagrindines bangų fizikos ir akustikos sąvokas.
Išvada
Stygų ilgio, masės, dažnio ir įtempimo formulių bei ryšių supratimas yra labai svarbus daugelyje sričių, ypač muzikoje ir technologijose. Naudodami pagrindines fizikos formules, galime apskaičiuoti ir numatyti stygų elgseną įvairiomis sąlygomis, o tai padeda mums įvairiuose praktiniuose pritaikymuose – nuo muzikos instrumentų derinimo iki tiksliųjų matavimų šiuolaikinėse technologijose.
