Bernulio principas ir lygčių medžiaga
KKai važiuojame motociklu gana greitai, mūsų drabužių nugarinė dalis išsipučia. Jei dar nemokate vairuoti motociklo, atkreipkite dėmesį į savo tėvus ar draugus, kurie važinėja motociklais. Jų drabužių nugarinė dalis paprastai išsipučia, kai motociklas važiuoja greitai. Kartais, kai pučia stiprus vėjas, namo durys gali pačios užsidaryti. Net jei vėjas pučia lauke, o durys yra namo viduje.
Tai galima paaiškinti naudojant Bernulio principą. Danielis Bernulis (1700–1782) atrado principą, kuriuo galima paaiškinti kai kurie iš aukščiau išvardytų.
Bernulio principas
Bernulio principas teigia, kad esant dideliam skysčio tekėjimo greičiui, mažas ir slėgis. Ir atvirkščiai, jei skysčio tekėjimo greitis mažas, slėgis tampa didelis. Kai motociklas juda greitai, oro greitis priešais ir šalia jūsų kūno yra didelis. Todėl oro slėgis tampa mažas. Jūsų kūno nugarą užstoja priekinė kūno dalis, todėl oro greitis už jūsų kūno nepasikeičia į didelį (tiesiai už jūsų kūno). Dėl to oro slėgis už jūsų kūno padidėja. Kadangi yra oro slėgio skirtumas, kai oro slėgis tiesiai už jūsų kūno yra didesnis, oras stumia jūsų marškinius atgal, todėl atrodo, kad jie išpūsti nugaroje.
O kaip dėl durų, kurios pačios užsidaro, kai lauke pučia stiprus vėjas? Oras lauke juda greičiau nei viduje. Dėl to oro slėgis lauke yra mažesnis nei viduje. Dėl šio slėgio skirtumo, kai oro slėgis viduje yra didesnis, durys stumiamos į išorę. Kitaip tariant, durys juda iš didesnio oro slėgio vietos į mažesnio oro slėgio vietą.
Bernulio lygtis
Anksčiau mokėmės apie Bernulio principą. Bernulis taip pat kiekybiškai išplėtojo šį principą. Norėdami išvesti Bernulio lygtį, darome prielaidą, kad skysčio tekėjimas yra pastovus, laminarinis, jis yra nesuspaudžiamas ir klampus, ir į tai galima neatsižvelgti.
Aptardami tęstinumo lygtį, sužinojome, kad skysčio srauto greitis taip pat gali kisti priklausomai nuo srauto vamzdžio skerspjūvio ploto. Remiantis aukščiau paaiškintu Bernulio principu, skysčio slėgis taip pat gali kisti priklausomai nuo skysčio srauto greičio. Skysčio slėgis taip pat gali kisti priklausomai nuo skysčio aukščio. Ryšį tarp slėgio, srauto greičio ir srauto aukščio galima gauti iš Bernulio lygties.
Bernulio lygtis yra labai svarbi, nes ją galima naudoti orlaivių skrydžiams, hidroelektrinėms, vamzdynų sistemoms ir kt. analizuoti. Kad mūsų išvesta Bernulio lygtis būtų taikoma visuotinai, laikysime, kad skystis teka per nevienodo skerspjūvio ploto ir skirtingo aukščio srauto vamzdį (žr. paveikslėlį žemiau). Norėdami išvesti Bernulio lygtį, skysčiui srauto vamzdžio srityje pritaikysime darbo ir energijos teoremą. Toliau apskaičiuosime skysčio kiekį ir darbą, atliktą skysčiui judinti.
Nepermatoma srauto vamzdelio spalva paveikslėlyje rodo skysčio tekėjimą, o balta spalva – skysčio nebuvimą.
Skystis, kurio skerspjūvio plotas 1 (kairėje pusėje), teka atstumu L1 ir priverčia skystį 2 skerspjūvyje (dešinėje pusėje) judėti atstumu L2Kadangi dešinėje esantis 2 skerspjūvio plotas yra mažesnis, skysčio srauto greitis dešinėje srauto vamzdžio pusėje yra didesnis (prisiminkite tęstinumo lygtį). Dėl to susidaro slėgio skirtumas tarp 2 skerspjūvio (dešinės srauto vamzdžio pusės) ir 1 skerspjūvio (kairės srauto vamzdžio pusės). Prisiminkite Bernulio principą. Skystis kairėje nuo 1 skerspjūvio sukuria slėgį P.1 ant skysčio dešinėje ir atlieka šiuos darbus:
Tada lygtis W1 galima parašyti taip:
W1 =p1 A1 L1
2 skerspjūvyje (dešinėje srauto vamzdžio pusėje) su skysčiu atliekamas darbas yra:
W2 = − p2 A2 L2
Neigiamas ženklas rodo, kad veikianti jėga yra priešinga judėjimo krypčiai. Taigi, skystis dirba dešinėje nuo 2 atkarpos. Be to, gravitacinė jėga taip pat veikia skystį. Minėtu atveju tam tikra skysčio masė yra išstumta iš 1 atkarpos atstumu L.1 kirsti 2 atkarpą iki L2, kur skysčio tūris 1 skerspjūvyje (A1 L1) = skysčio tūris 2 skerspjūvyje (A2 L2). Gravitacijos atliekamas darbas yra:
W3 = − mg (val.2 - val.1)
W3 = − mg/h2 + mgh1)
W3 = mg/h1 - mgh2
Neigiamas ženklas atsiranda dėl skysčio tekėjimo aukštyn, priešinga gravitacijos krypčiai. Taigi, bendras su skysčiu atliktas darbas, kaip parodyta paveikslėlyje aukščiau, yra:
W = W1 + W2 + W3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Darbo ir energijos teorema teigia, kad bendras sistemos atliktas darbas yra lygus jos kinetinės energijos pokyčiui. Taigi, darbą (W) galime pakeisti kinetinės energijos pokyčiu (EK).2 ‐ EK1).
Aukščiau pateiktą lygtį galime perrašyti taip:
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐ EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mV22 – 1⁄2 mV12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Skysčio, tekančio atstumu L, masė1 skerspjūvyje A1 = skysčio masė, tekanti atstumu L2 (skerspjūvis A2). Tam tikra skysčio masė, tarkime, m, turi A tūrį.1L1 ir A2 L2 kur A1 L1 = A.2 L2 (L2 ilgesnis nei L1).
Dabar aukščiau pateiktoje lygtyje m pakeičiame į m = ρ AL:
Tai yra Bernulio lygtis. Bernulio lygtį išvedėme remdamiesi darbo ir energijos principu, todėl tai yra energijos tvermės dėsnio forma.
Informacija:
P = Slėgis
ρ = skysčio tankis
v = skysčio tekėjimo greitis
g = gravitacijos pagreitis
h = Srauto vamzdžio aukštis nuo žemės paviršiaus
Kairė ir dešinė aukščiau pateiktos Bernulio lygties pusės gali būti susijusios su bet kuriais dviem taškais išilgai srauto vamzdžio, todėl galime perrašyti aukščiau pateiktą lygtį taip:
Ši lygtis teigia, kad bendra lygtyje esančių dydžių suma visame srauto vamzdyje yra vienoda.
Dabar apžvelkime Bernulio lygtį kai kuriais atvejais.
Bernulio lygtis ramybės būsenos skysčiams
Ypatingas Bernulio lygties atvejis yra ramybės būsenoje esantys skysčiai (statiniai skysčiai). Kai skystis yra ramybės būsenoje, jis neturi greičio. Taigi v1 = v2 = 0. Nejudančio skysčio atveju Bernulio lygtį galime suformuluoti taip:
Jei val.2 - val.1 = h, tai šią lygtį galima užrašyti taip:
p1 - p2 = ρ g (h2 - val.1)
p1 - p2 = ρgh
Bernulio lygtis vienodo aukščio srauto vamzdžiams
Jei srauto vamzdžio arba vamzdžio aukštis yra vienodas, Bernulio lygtis pakeičiama į:
