Taškų daugybos medžiaga naudojant vienetinius vektoriaus komponentus
Skaliarinę sandaugą galime apskaičiuoti tiesiogiai, jei žinome vektorių A ir B x, y ir z dedamąsias (žinomus vektorius).
Norėdami tokiu būdu atlikti skaliarinę sandaugą, pirmiausia atliekame vienetinių vektorių skaliarinę sandaugą, po to išreiškiame vektorius A ir B jų komponentais, suskaidome sandaugą ir naudojame vienetinių vektorių sandaugą.
Vienetiniai vektoriai i , j ir k yra statmeni vienas kitam, todėl skaičiuoti lengviau. Naudojant aukščiau išvestą skaliarinę daugybos lygtį ( AB = AB cos theta ), gauname:
i . i = j . j = k . k = (1)(1), nes 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 0 = 0
Dabar vektorius A ir B išreiškiame jų komponentais, suskaidome jų sandaugą ir naudojame vienetinių vektorių sandaugą.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Karena i . i = j . j = k . k = 1 ir i . j = i . k = j . k = 0, tada:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A. B = A × B × (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Remiantis šio skaičiavimo rezultatais, galima daryti išvadą, kad dviejų vektorių skaliarinė sandauga arba skaliarinė sandauga yra jų panašių komponentų sandaugų suma.
1 klausimo pavyzdys:
Didelis vektorius A Dan B atitinkamai yra 5 ir 4, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. Susidaręs kampas yra 90oSuskaičiuokite skaliarinė sandauga abu vektoriai.
Pembahasanas
Prieš apskaičiuodami vektorių A ir B skaliarinę sandaugą, pirmiausia turime žinoti antrojo vektoriaus komponentus.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Vektorius A turi vektorines komponentes tik x ašyje, o vektorius B – tik y ašyje. Z komponentė lygi nuliui, nes vektoriai A ir B yra xy plokštumoje.
Dabar apskaičiuojame skaliarinę sandaugą tarp vektorių A ir B, naudodami skaliarinės sandaugos lygtį su komponentų vektoriais:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Palyginkime jį su pirmuoju metodu
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Rezultatas tas pats.
2 klausimo pavyzdys:
Didelis vektorius A Dan B yra atitinkamai 5 ir 4, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. Apskaičiuokite skaliarinė sandauga abu vektoriai, jei susidaręs kampas yra 30o
Pembahasanas
Prieš apskaičiuodami vektorių A ir B skaliarinę sandaugą, pirmiausia turime žinoti antrojo vektoriaus komponentus.
Z komponentas lygus nuliui, nes vektoriai A ir B yra xy plokštumoje.
Dabar apskaičiuojame skaliarinę sandaugą tarp vektorių A ir B, naudodami skaliarinės sandaugos lygtį su komponentų vektoriais:
Palyginkite su pirmuoju metodu.
