Uždavinių, aptariančių atvirkštinius vektorius, pavyzdys
Vektorius yra matematinis objektas, turintis ir dydį, ir kryptį. Tyrinėdami vektorius, dažnai susiduriame su vektoriais, turinčiais specifinių savybių. Viena iš pagrindinių vektorių sąvokų yra atvirkštinis vektorius arba neigiamas vektorius. Šiame straipsnyje bus pateikti atvirkštinių vektorių pavyzdžiai ir aptarimas.
Atvirkštinių vektorių supratimas
Atvirkštinis vektorius, dažnai vadinamas neigiamu vektoriumi, yra vektorius, kurio dydis yra toks pat, bet kryptis priešinga pradiniam vektoriui. Jei vektorius žymimas \(\vec{a}\), tai jo atvirkštinis vektorius yra \(-\vec{a}\). Matematiškai, jei \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), tai \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\).
1 pavyzdžio klausimas
Duotas vektorius \(\vec{a} = (3, 4, -2)\). Nustatykite atvirkštinį \(\vec{a}\) vektorių.
Diskusija:
Norint nustatyti atvirkštinį \(\vec{a}\) vektorių, tereikia kiekvieną jo vektoriaus komponentą pakeisti į neigiamą:
\[
-\a = (-3, -4, 2)
\]
Taigi, atvirkštinis vektorius \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) yra \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\).
2 pavyzdžio klausimas
Tegu vektorius \(\vec{b} = (7, -5, 0)\). Raskite atvirkštinį \(\vec{b}\) vektorių ir patikrinkite, ar \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\).
Diskusija:
Pirmiausia apibrėžiame atvirkštinį vektorių \(\vec{b}\):
\[
-\v{b} = (-7, 5, 0)
\]
Toliau patikriname, ar sudėjus vektorių \(\vec{b}\) ir jo atvirkštinį vektorių, gaunamas nulinis vektorius:
\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
Sudedame vektoriaus komponentus:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
Taigi, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\), įrodyta, kad sudėjus vektorių \(\vec{b}\) ir jo atvirkštinį vektorių, gaunamas nulinis vektorius.
3 pavyzdžio klausimas
Duoti vektoriai \(\vec{u} = (2, -1)\) ir \(\vec{v} = (-2, 1)\). Ar \(\vec{u}\) yra atvirkštinis \(\vec{v}\) vektorius?
Diskusija:
Norint nustatyti, ar \(\vec{u}\) ir \(\vec{v}\) yra atvirkštiniai vektoriai, reikia patikrinti, ar \(\vec{v} = -\vec{u}\).
Apskaičiuokite \(-\vec{u}\):
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
Pasirodo, kad \(-\vec{u} = \vec{v}\), tai reiškia, kad vektorius \(\vec{u}\) iš tiesų yra atvirkštinis vektoriaus \(\vec{v}\) vektorius.
4 pavyzdžio klausimas
Jei žinoma, kad vektoriaus \(\vec{w}\) dydis yra lygus 5, o kryptis – priešinga vektoriaus \(\vec{p} = (4, 3)\) kryptiai, nustatykite \(\vec{w}\) komponentų pavidalu.
Diskusija:
Pirma, randame vektoriaus \(\vec{p}\) dydį:
\[
|\vec{p}| = ∫qrt{4^2 + 3^2} = ∫qrt{16 + 9} = ∫qrt{25} = 5
\]
Kadangi \(\vec{w}\) dydis yra toks pat kaip \(\vec{p}\), bet priešinga kryptimi, tai:
\[
∫w = -∫p = (-4, -3)
\]
Taigi, vektorius \(\vec{w}\) komponentų pavidalu yra \(\vec{w} = (-4, -3)\).
5 pavyzdžio klausimas
Duoti taškai A(2, 3) ir B(4, 7). Nustatykite padėties vektorių iš taško A į tašką B ir vektorių, kuris yra priešingas tam vektoriui.
Diskusija:
Padėties vektorius iš taško A į tašką B:
\[
\\vect{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
Atvirkštinis vektorius (\vec{AB}):
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
Taigi, vektorius, kuris yra atvirkštinis padėties vektoriui \(\vec{AB} = (2, 4)\), yra \(-\vec{AB} = (-2, -4)\).
6 pavyzdžio klausimas
Duotas vektorius \(\vec{m} = (x, y)\), o atvirkštinis vektorius \(\vec{m}\) yra \((-5, 12)\). Nustatykite x ir y reikšmes.
Diskusija:
Atvirkštinis vektorius \(\vec{m}\) yra \( (-x, -y) \), ir pagal uždavinį, \((-x, -y) = (-5, 12)\).
Suderinus vektoriaus komponentus, gauname:
\[
-x = -5 reiškia x = 5
\]
\[
-y = 12 reiškia y = -12
\]
Taigi, x reikšmė yra 5, o y reikšmė yra -12.
Išvada
Atvirkštiniai vektoriai yra vienodo dydžio, bet priešingos krypties vektoriai. Suprasdami atvirkštinių vektorių sąvoką, galime spręsti įvairias su vektoriais susijusias problemas, pavyzdžiui, nustatyti vektoriaus neigiamą dalį, patikrinti vektorių sudėtį prie nulio ir pan. Tikimasi, kad aptarus aukščiau pateiktus pavyzdinius uždavinius, praplėsime mūsų žinias ir supratimą apie darbą su atvirkštiniais vektoriais.
