Padėties vektorių aptarimo problemų pavyzdys
Vektoriai yra pagrindinė matematikos ir fizikos sąvoka, žyminti dydžius, turinčius tiek kryptį, tiek dydį. Įvairiose srityse vektoriai dažnai naudojami padėčiai, greičiui, jėgai ir daugeliui kitų parametrų apibūdinti. Tarp įvairių vektorių tipų padėties vektoriai vaidina lemiamą vaidmenį nustatant taško vietą erdvėje.
Pozicijos vektoriaus apibrėžimas
Padėties vektorius yra vektorius, apibūdinantis taško vietą koordinačių sistemos pradžios taško atžvilgiu. Paprastai padėties vektorius užrašomas Dekarto koordinačių forma taip:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
Čia \(\mathbf{r}\) yra padėties vektorius, \(x\), \(y\) ir \(z\) yra jo komponentės išilgai \(x\), \(y\) ir \(z\) ašių, o \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) ir \(\mathbf{k}\) yra vienetiniai vektoriai, lygiagretūs koordinačių ašims. Dvimatėje erdvėje \(z\) komponentės paprastai nėra, todėl padėties vektorius tampa:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Padėties vektoriaus taikymas
Pavyzdžiui, fizikoje padėties vektoriai vaidina labai svarbų vaidmenį apibūdinant objektų judėjimą. Objekto padėtis pradžios taško (atskaitos taško) atžvilgiu gali būti pavaizduota padėties vektoriumi. Be to, mechanikos inžinerijoje jėgų ir momentų skaičiavimai dažnai apima padėties vektorių naudojimą.
Pavyzdiniai klausimai ir padėties vektorių aptarimas
1 klausimas
Tarkime, kad trimatėje erdvėje yra du taškai: taškas A, kurio koordinatės yra \( (1, 2, 3) \) ir taškas B, kurio koordinatės yra \( (4, 0, -2) \). Nustatykite taškų A ir B padėties vektorius. Be to, apskaičiuokite vektorių, jungiantį tašką A su tašku B.
Diskusija:
Taško A padėties vektorius:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
B taško padėties vektorius:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
Toliau, norint rasti vektorių, jungiantį tašką A su tašku B (vadinamą \(\mathbf{AB}\)), reikia atimti taško A padėties vektorių iš taško B padėties vektoriaus:
[AB = r_B – r_A]
Taigi, pakeičiant du aukščiau pateiktus padėties vektorius:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4–1)\mathbf{i} + (0–2)\mathbf{j} + (-2–3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Taigi, vektorius, jungiantis taškus A su B, yra \(3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \).
2 klausimas
Jei taškas P yra θ², θ², raskite padėties vektoriaus θ², θ², ilgį (normą).
Diskusija:
Taško P padėties vektorius:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
Padėties vektoriaus ilgį (\mathbf{r_P}\) galima apskaičiuoti naudojant vektoriaus normos (arba ilgio) formulę:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Pakeiskite x ir y reikšmes:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Taigi, padėties vektoriaus \(\mathbf{r_P}\) ilgis yra \(\sqrt{13}\).
3 klausimas
Tarkime, kad taškas Q yra taške \( (5, -4, 2) \). Raskite kampą tarp padėties vektoriaus \(\mathbf{r_Q}\) ir \(x\) ašies.
Diskusija:
Taško Q padėties vektorius:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
Norėdami rasti kampą tarp vektoriaus \(\mathbf{r_Q}\) ir \(x\) ašies, galime naudoti skaliarinės sandaugos sąvoką. Pirmiausia nustatome skaliarinę sandaugą tarp \(\mathbf{r_Q}\) ir \(\mathbf{i}\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \c{i \mathb]
Kadangi Σi = 1), Σj = 0 ir Σk = 0, tai:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
\(\mathbf{r_Q}\) norma:
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
\(\mathbf{i}\) norma yra 1, nes \(\mathbf{i}\) yra vienetinis vektorius.
Naudojant skaliarinės sandaugos formulę, norint rasti kampą \(\theta\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
[costheta = √(5%)(3√(5%)]]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
[costheta = √5⁻²/15]
[costheta = √(5)ₙ]
Taigi kampas \(\theta\) tarp padėties vektoriaus \(\mathbf{r_Q}\) ir \(x\) ašies yra:
[ θheta = cos^{-1} (frac{\sqrt{5}}{3})]
Išvada
Padėties vektoriai vaidina labai svarbų vaidmenį moksle ir inžinerijoje, ypač objektų padėties koordinačių erdvėje vaizdavime. Aukščiau pateikti pavyzdžiai parodo, kaip apskaičiuoti padėties vektorius, jų ilgius ir kampus tarp jų ir koordinačių ašių. Šių pagrindinių sąvokų supratimas yra neįkainojamas sprendžiant įvairias su erdve ir koordinatėmis susijusias matematikos ir fizikos problemas.
