Diskusinio klausimo apie algebrinės funkcijos išvestinę pavyzdys
Išvestinė skaičiavime yra pagrindinė sąvoka, naudojama apibūdinti, kaip kinta funkcija, arba funkcijos nuolydis tam tikrame taške. Išvestinės yra naudingos įvairiose srityse, tokiose kaip fizika, ekonomika ir inžinerija, nes jos suteikia informacijos apie kitimo greitį. Šiame straipsnyje aptarsime keletą algebrinių funkcijų išvestinių pavyzdžių ir kaip jas spręsti.
1 pavyzdys: Daugiapolio funkcijos išvestinė
Klausimas: Duota funkcija \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). Nustatykite funkcijos išvestinę!
Sprendimas:
Naudodami pagrindinę polinominių funkcijų išvestinių taisyklę, būtent \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), po vieną apskaičiuosime kiekvieno funkcijos nario išvestinę.
\[
pradėti{align }
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= ∫\frac{d}{dx}(3x^3) – ∫\frac{d}{dx}(5x^2) + ∫\frac{d}{dx}(2x) – ∫\frac{d}{dx}(7)
f'(x) &= 3 ∫3x^{3-1} – 5 ∫2x^{2-1} + 2 ∫1x^{1-1} – 0
f'(x) η = 9x^2 – 10x + 2.
\end{align }
\]
Taigi, funkcijos f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 išvestinė yra f'(x) = 9x^2 – 10x + 2).
2 pavyzdys: Funkcijos su trupmeninėmis laipsnio rodikliais išvestinė
Klausimas: Nustatykite funkcijos išvestinę ( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} ).
Sprendimas:
Naudojant tą pačią išvedimo taisyklę, t. y. \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
pradėti{align }
g(x) ir = x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= ∫\frac{d}{dx}(x^{3/2}) + ∫\frac{d}{dx}(x^{1/2})
g'(x) &= ∫(3/2)x^{(3/2)-1} + ∫(1/2)x^{(1/2)-1}
g'(x) &= ∫(3}{2}x^{1/2} + ∫(1}{2}x^{-1/2}).
\end{align }
\]
Taigi, g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) išvestinė yra \(g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
3 pavyzdys: Eksponentinių ir trigonometrinių funkcijų išvestinės
Klausimas: Nustatykite funkcijos išvestinę \(h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
Sprendimas:
Norint išspręsti šią išvestinę, mums reikia sandaugos taisyklės, kuri teigia ((uv)' = u'v + uv'). Tarkime, kad (u(x) = e^x) ir (v(x) = sin(x)), tada:
\[
pradėti{align }
u'(x) &= e^x, & \text{nes } e^x \text{ išvestinė yra } e^x \text{
v'(x) &= ∫cos(x), & ∫text{nes ∫₀(x) išvestinė yra ∫cos(x).
\end{align }
\]
Naudojant išvestinę taisyklę produktams:
\[
pradėti{align }
h'(x) &= (e^x ∫₀ dot sin(x))' \\
&= e^x ∫(sin(x))' + ∫(x) ∫(e^x)'
&= e^x ∫cos(x) + ∫sin(x) ∫cos e^x
& = e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align }
\]
Taigi, funkcijos \(h(x) = e^x \sin(x) \) išvestinė yra \(h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
4 pavyzdys: Funkcijos išvestinė naudojant grandinės taisyklę
Klausimas: Nustatykite funkcijos išvestinę ( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 ).
Sprendimas:
Norint išspręsti šią išvestinę, mums reikia grandinės taisyklės, būtent \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Tarkime \(u(x) = 3x^2 – x + 4 \) ir \(f(u) = u^5 \), tada:
\[
pradėti{align }
k(x) ⋅ ...
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{so} \\
k(x) ir = f(u(x)) = u^5
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= ∫\frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4)
& = 6x – 1.
\end{align }
\]
Naudojant grandinės taisyklę:
\[
pradėti{align }
k'(x) η = 5(3x^2 – x + 4)^4 √(6x – 1)√
& = 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align }
\]
Taigi, funkcijos \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) išvestinė yra \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
5 pavyzdys: Funkcijos su trigonometrinėmis tapatybėmis išvestinė
Klausimas: Nustatykite funkcijos išvestinę \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
Sprendimas:
Sandaugoms naudosime išvestinių taisyklę. Tarkime, kad u(x) = sin(x) ir v(x) = cos(x), tada:
\[
pradėti{align }
u'(x) &= ∫cos(x),
v'(x) & = -\sin(x).
\end{align }
\]
Naudojant išvestinę taisyklę produktams:
\[
pradėti{align }
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' ⋅ ...
&= ∫cos(x) ∫cos(x) + ∫sin(x) ∫cos(x) (- ∫sin(x))
& = ∫cos^2(x) – ∫sin^2(x).
\end{align }
\]
Naudojant trigonometrinę tapatybę (cos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x)):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
Taigi, funkcijos \(m(x) = \\sin(x) \\cos(x) \) išvestinė yra \(m'(x) = \\cos(2x) \).
Išvada
Algebrinės funkcijos išvestinė yra pagrindinė skaičiavimo sąvoka, labai svarbi ir naudinga įvairiose srityse. Įvairios išvestinių taisyklės, tokios kaip pagrindinė išvestinių taisyklė, sandauga, grandinės taisyklė ir trigonometrinių išvestinių taisyklės, padeda apskaičiuoti sudėtingesnių funkcijų išvestines. Suprasdami aukščiau pateiktus pavyzdžius ir praktikuodami uždavinius, galime pagerinti savo supratimą ir įgūdžius, susijusius su algebrinių funkcijų išvestinių skaičiavimu.
