Pavyzdiniai klausimai apie aritmetines eilutes
Aritmetinės sekos yra pagrindinė matematikos sąvoka, dažnai pasitaikanti įvairiuose uždaviniuose tiek vidurinėje mokykloje, tiek aukštojo mokslo įstaigose. Ši sąvoka apima skaičių seką, kur kiekvienas narys yra ankstesnio nario pridėjimo arba atėmimo iš konstantos skaičiaus rezultatas. Šiame straipsnyje aptarsime keletą pavyzdinių uždavinių ir jų sprendimų, kad geriau suprastume aritmetinių sekų sąvoką.
Aritmetinių serijų supratimas
Aritmetinė eilutė yra eilutė, kurios dviejų iš eilės einančių narių skirtumas yra pastovus. Pavyzdžiui, jei aritmetinės eilutės pirmasis narys yra \(a\), o skirtumas yra \(d\), tai nariai gali būti užrašyti taip:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Jei norime rasti n-tąjį šios eilutės narį, n-tojo nario (\(U_n\)) formulė yra:
[U_n = a + (n-1)d]
Tuo tarpu aritmetinės eilutės pirmųjų n narių sumą (\(S_n\)) galima apskaičiuoti pagal formulę:
\[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
1 pavyzdžio klausimas
Klausimas: Duota aritmetinė eilutė, kurios pirmasis narys yra a = 5, o bendras skirtumas yra d = 3. Raskite 10-ąjį eilutės narį.
Diskusija:
Norėdami rasti 10-ąjį narį (\(U_{10}\)), galime naudoti n-tojo nario formulę:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Taigi, dešimtasis serijos terminas yra 32.
2 pavyzdžio klausimas
Klausimas: Raskite aritmetinės eilutės, kurios pirmasis narys yra \(a = 4\), o bendras skirtumas yra \(d = 7\), pirmųjų 15 narių sumą.
Diskusija:
Norėdami rasti pirmųjų 15 narių sumą (\(S_{15}\)), galime naudoti formulę pirmųjų n narių sumai apskaičiuoti:
S_{15} = ∫frac{15}{2} (2a + (15 - 1)d)]
\[S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[S_{15} = 795 \]
Taigi, pirmųjų 15 serijos narių suma yra 795.
3 pavyzdžio klausimas
Klausimas: Yra žinoma, kad 5-asis aritmetinės eilutės narys yra lygus 20, o 12-asis – 48. Raskite pirmąjį eilutės narį (a) ir bendrą skirtumą (d).
Diskusija:
Iš pateiktų sąlygų:
\[U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Turime dvi tiesines lygtis su dviem kintamaisiais, kurias galime išspręsti:
1. (a + 4d = 20)
2. (a + 11d = 48)
Iš 1 lygties galime išreikšti \(a\) per \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
Dabar į 2 lygtį įstatome \(a\):
\[20 – 4d + 11d = 48 \]
\[20 + 7d = 48 \]
\[7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Dabar į lygtį (a = 20 – 4d) įstatome d reikšmę:
\[a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20–16 \]
\[ a = 4 \]
Taigi, pirmasis serijos narys yra 4, o bendras skirtumas yra 4.
4 pavyzdžio klausimas
Klausimas: Kiek narių reikia, kad aritmetinės eilutės, kurios pirmasis narys yra a = 2, o bendras skirtumas yra d = 5, suma būtų 200?
Diskusija:
Šiuo atveju turime rasti pirmųjų n narių sumą (\(S_n\)), kuri lygi 200. Pirmųjų n narių sumai apskaičiuoti naudokite formulę:
\[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
Pakeiskite \(a\) ir \(d\) reikšmes:
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
n(5n – 1) = 400
Tai kvadratinė lygtis. Norėdami ją išspręsti, pakeiskime jos formą:
\[5n^2 – n – 400 = 0 \]
Naudokite kvadratinę formulę \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[n = \frac{-b \pm qrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Šiuo atveju \(a = 5\), \(b = -1\) ir \(c = -400\):
\[n = \frac{-(-1) \pm qrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[n = \frac{1 \pm\sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[n = \frac{1 \pm\sqrt{8001}}{10} \]
Kai \(\sqrt{8001}\) reikšmė artima 89.42, tai:
\[n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Priimame teigiamas vertes:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[n \apytiksl. \frac{90.42}{10} \]
\[n \apytiksliai 9.042 \]
Taigi, reikalingų terminų skaičius yra 9 terminai (jei suapvalinta).
Išvada
Aritmetinės sekos yra labai svarbi matematikos tema. Išsamus pirmojo nario, bendro skirtumo, n-tojo nario ir pirmųjų n narių sumos supratimas yra neįkainojamas sprendžiant įvairias problemas. Tikimasi, kad naudodamiesi aukščiau pateiktais pavyzdžiais ir aptarimais, skaitytojai geriau supras pagrindines aritmetinių sekų sąvokas.
