Pavyzdiniai klausimai apie geometrines eilutes
Geometrinės sekos yra pagrindinė matematikos sąvoka, dažnai dėstoma vidurinėje mokykloje. Šios sekos susideda iš skaičių rinkinio, kurio kiekvienas yra ankstesnio skaičiaus ir konstantos, vadinamos „santykiu“, sandauga. Šiame straipsnyje bus aptarti keli geometrinių sekų pavyzdžiai ir aptarimai, tikintis padėti skaitytojams geriau suprasti šią sąvoką.
Geometrinių serijų supratimas
Geometrinė seka yra skaičių seka, sudaryta padauginus pirmąjį skaičių (a) iš fiksuoto santykio (r). Apskritai, bendra geometrinės sekos forma yra:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
Čia:
– „a“ yra pirmasis sekos narys.
– „r“ yra vieno nario ir ankstesnio nario santykis.
– „n“ yra n-tasis sekos narys.
Pavyzdiniai klausimai ir diskusija
Aptarkime keletą pavyzdžių, kad geriau suprastume geometrines sekas.
1 pavyzdžio klausimas
Klausimas:
Duota geometrinė seka, kurios pirmasis narys (a) yra 3, o santykis (r) yra 2. Nustatykite:
1. Dešimtasis sekos narys.
2. Pirmųjų 6 sekos narių suma.
Diskusija:
1. 5-ąjį narį (U5) galima apskaičiuoti pagal geometrinės sekos n-tojo nario formulę, būtent:
\[U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Į formulę įstatydami a = 3, r = 2 ir n = 5:
\[U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
Taigi, 5-asis sekos narys yra 48.
2. Geometrinės sekos pirmųjų 6 narių sumą (S6) galima apskaičiuoti pagal pirmųjų n narių sumos formulę, būtent:
\[S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
Į formulę įstatydami a = 3, r = 2 ir n = 6:
\[S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
\[S_6 = 3 \kairė(63 \dešinė) \]
\[S_6 = 189 \]
Taigi, pirmųjų 6 sekos narių suma yra 189.
2 pavyzdžio klausimas
Klausimas:
Geometrinės sekos trečiasis narys yra lygus 27, o penktasis narys – 243. Nustatykite pirmojo nario reikšmę (a) ir santykį (r).
Diskusija:
Duota U3 = 27 ir U5 = 243. Naudojant formulę geometrinės sekos n-tajam nariui:
\[U_n = a \cdot r^{n-1} \]
U3 atveju:
\[U_3 = a \cdot r^2 \]
\[27 = a \cdot r^2 \] \[(1) \]
U5 atveju:
\[U_5 = a \cdot r^4 \]
\[243 = a \cdot r^4 \] \[(2) \]
Lyginant (1) ir (2) lygtis, siekiant pašalinti:
[U_5}{U_3} = a taškas r^4}{a taškas r^2}]
[\frac{243}{27} = r^2]
\[9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ arba } r = -3 \]
Į (1) lygtį įstatykite r reikšmę:
Jei r = 3:
\[27 = a \cdot 3^2 \]
\[27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Jei (r = -3):
\[27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Taigi, pirmasis terminas (a) yra 3, o santykis (r) gali būti 3 arba -3.
3 pavyzdžio klausimas
Klausimas:
Raskite begalinę šių geometrinių eilučių sumą, jei pirmasis narys (a) yra lygus 8, o santykis (r) yra 1/2.
Diskusija:
Begalinę geometrinės eilutės sumą galima apskaičiuoti pagal formulę:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
Į formulę įstatydami a = 8 ir r = 1/2:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[S_{\infty} = 8 × 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
Taigi, begalinė geometrinės eilutės suma yra 16.
4 pavyzdžio klausimas
Klausimas:
Geometrinės sekos antrasis narys yra lygus 12, o ketvirtasis narys – 108. Nustatykite sekos santykį ir pirmąjį narį.
Diskusija:
Duota \( U_2 = 12 \) ir \( U_4 = 108 \). Naudojant formulę geometrinės sekos n-tajam nariui:
Skirta \(U_2 \):
\[U_2 = a \cdot r \]
\[12 = a \cdot r \] \[(1) \]
Skirta \(U_4 \):
\[U_4 = a \cdot r^3 \]
\[108 = a \cdot r^3 \] \[(2) \]
Lyginant (1) ir (2) lygtis, siekiant pašalinti:
[\frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r}]
[\frac{108}{12} = r^2]
\[9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ arba } r = -3 \]
Į (1) lygtį įstatykite r reikšmę:
Jei r = 3:
\[12 = a \cdot 3 \]
\[ a = 4 \]
Jei (r = -3):
\[12 = a \cdot(-3) \]
\[ a = -4 \]
Taigi, pirmasis terminas (a) gali būti 4 arba -4, o santykis (r) gali būti 3 arba -3.
Išvada
Geometrinės sekos yra svarbi matematinė sąvoka, dažnai naudojama įvairiose srityse. Suprasdami pagrindus ir praktikuodami problemų sprendimo įgūdžius, tikimės, kad galėsime geriau suprasti ir taikyti šią sąvoką. Šiame straipsnyje pateikiama keletas pavyzdžių uždavinių ir diskusijų, kurios padės skaitytojams giliau mokytis ir suprasti geometrines sekas. Tikimės, kad tai bus naudinga!
