Diskusinio klausimo apie išvestinių taikymą pavyzdys
Išvestinė yra pagrindinė skaičiavimo sąvoka, turinti daug pritaikymų kasdieniame gyvenime ir kitose mokslo srityse, tokiose kaip fizika, ekonomika, biologija ir inžinerija. Šiame straipsnyje aptarsime keletą pavyzdinių problemų ir aptarsime išvestinių taikymą, ypač optimizavimo ir funkcijų analizės kontekste.
Įvadas į išvestines programas
Funkcijos išvestinė iš esmės pateikia informaciją apie tos funkcijos kitimo greitį jos nepriklausomo kintamojo atžvilgiu. Paprasčiausias pavyzdys yra greitis, kuris yra padėties išvestinė laiko atžvilgiu. Plačiau kalbant, išvestinės gali būti naudojamos norint rasti maksimalią ir minimalią funkcijos vertes, nustatyti intervalus, kuriais funkcija didėja arba mažėja, ir pateikti informaciją apie funkcijos savybes bei grafinį elgesį.
1 pavyzdžio klausimas: Didžiausios ir mažiausios vertės radimas
Klausimas:
Nustatykite funkcijos \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \) maksimumo ir minimumo taškus.
Diskusija:
1. Pirmosios išvestinės radimas:
Norėdami rasti kritinius taškus, turime rasti pirmąją funkcijos išvestinę ir prilyginti ją nuliui.
\[
f'(x) = 3x^2 – 6x
\]
\[
3x^2 – 6x = 0
\]
2. Išspręskite lygtį:
Mes faktorizuojame lygtį:
\[
3x(x – 2) = 0
\]
Todėl kritinius taškus gauname ties x = 0 ir x = 2.
3. Išanalizuokite antrąją išvestinę:
Norint nustatyti, ar kritiniai taškai yra maksimumai, ar minimumai, reikia rasti antrąją funkcijos išvestinę:
\[
f”(x) = 6x – 6
\]
Vertinimas kritiniais momentais:
\[
f”(0) = 6(0) – 6 = -6 (neigiama reikšmė, taigi x = 0 yra lokalus maksimumas)
\]
\[
f”(2) = 6(2) – 6 = 6 (teigiama, taigi x = 2 yra lokalus minimumas)
\]
4. Apskaičiuokite didžiausią ir mažiausią vertes:
Į pradinę funkciją įstatome kritinius taškus:
\[
f(0) = 0^3 – 3 ∫ 0^2 + 4 = 4 ∫ (\text{maksimumas})
\]
\[
f(2) = 2^3 – 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0 \, (\text{minimum})
\]
Taigi, funkcija \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \) turi lokalų maksimumą ties \((0, 4) \) ir lokalų minimumą ties \((2, 0) \).
2 pavyzdžio klausimas: Optimizavimas su apribojimais
Klausimas:
Ūkininkas nori pastatyti stačiakampį aptvarą prie upės. Duota 100 metrų tvoros, nustatykite aptvaro matmenis, kad jos plotas būtų kuo didesnis.
Diskusija:
1. Sudarykite lygtį:
Tarkime, kad aptvaro, lygiagreta upei, ilgis yra \( x \) metrų, o plotis – \( y \) metrų. Kadangi viena pusė ribojasi su upe, reikalinga tvora iš trijų pusių.
\[
2y + x = 100
\]
2. Raskite didžiausią plotą:
Narvo plotas \(A \) yra:
\[
A = x ∫c dot y
\]
Iš tvoros lygties galime išreikšti y per x:
\[
y = ∫₀₀₀ – x²
\]
Taigi, ploto lygtis tampa tokia:
\[
A(x) = x ∫₀ ∫ₜ ∫ₜ = 50x – ∫ₜ x²
\]
3. Pirmosios išvestinės radimas:
Norėdami rasti maksimalią reikšmę, randame pirmąją funkcijos A(x) išvestinę:
\[
A'(x) = 50 – x
\]
Išlyginimas iki nulio:
\[
50 – x = 0 reiškia x = 50
\]
4. Apskaičiuokite y reikšmę:
Į lygtį įstatykite \(x = 50 \):
\[
y = ∫₀₀₀ₙ (100–50%) = 25
\]
Taigi, narvo matmenys, užtikrinantys maksimalų plotą, yra 50 metrų ilgio ir 25 metrų pločio.
3 pavyzdžio klausimas: Didžiausio greičio nustatymas
Klausimas:
Dalelė juda tiesia linija, kurios padėtis išreikšta kaip laiko funkcija \(s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 1 \). Nustatykite didžiausią dalelės greitį.
Diskusija:
1. Nustatykite greitį (padėties išvestinę):
Dalelės greitis yra pirmoji padėties išvestinė laiko atžvilgiu:
\[
v(t) = ∫\frac{ds}{dt} = 3t^2 – 12t + 9
\]
2. Nustatykite antrąją išvestinę:
Norėdami rasti didžiausią taškų skaičių, randame antrąją išvestinę:
\[
a(t) = ∫frac{dv}{dt} = 6t – 12
\]
3. Kritinio taško radimas:
Pirmąją greičio išvestinę prilyginame nuliui:
\[
3t^2 – 12t + 9 = 0
\]
Padalinkite iš 3:
\[
t^2 – 4t + 3 = 0
\]
Faktoringas:
\[
(t – 3)(t – 1) = 0
\]
Taigi, kritiniai taškai yra \(t = 1 \) ir \(t = 3 \).
4. Išanalizuokite pagreitį, kad rastumėte maksimalų dydį:
\[
a(1) = 6(1) – 12 = -6 , t = 1 , t yra lokalus maksimumas.
\]
\[
a(3) = 6(3) – 12 = 6 , t = 3 yra lokalus minimumas.
\]
5. Maksimalaus greičio apskaičiavimas:
Į greičio lygtį įstatykite \(t = 1 \):
\[
v(1) = 3(1)^2 – 12(1) + 9 = 3 – 12 + 9 = 0 \, (\text{neįdomu})
\]
Patikrinkite kitas atitinkamas ribas arba intervalo taškus, kad užtikrintumėte geriausią sprendimą.
Atlikdami šiuos veiksmus, galime sukurti išvestinėmis pagrįstą sprendimo modelį įvairioms aukščiau pateiktoms taikymo problemoms.
Išvada
Aukščiau pateikti pavyzdžiai parodo, kaip išvestinės gali būti naudojamos problemoms spręsti įvairiuose kontekstuose. Didžiausių ir mažiausių verčių radimas, optimizavimas su apribojimais ir judesio analizė yra tik keli išvestinių sąvokos taikymo pavyzdžiai. Šių technikų ir metodų įvaldymas yra būtinas tiems, kurie studijuoja aukštesniąją matematiką ir susijusias disciplinas.
