ການແກ້ໄຂສົມຜົນພ້ອມໆກັນ

ການແກ້ໄຂສົມຜົນພ້ອມໆກັນ

ສົມຜົນພ້ອມໆກັນ, ເຊິ່ງເອີ້ນກັນວ່າລະບົບສົມຜົນ, ແມ່ນຊຸດສົມຜົນທີ່ມີຫຼາຍຕົວແປ. ສົມຜົນເຫຼົ່ານີ້ຖືກເອີ້ນວ່າພ້ອມໆກັນ ເພາະວ່າພວກມັນຖືກແກ້ໄຂຮ່ວມກັນ, ຊຶ່ງໝາຍຄວາມວ່າຄຳຕອບຕ້ອງຕອບສະໜອງສົມຜົນທັງໝົດໃນເວລາດຽວກັນ. ການແກ້ໄຂສົມຜົນພ້ອມໆກັນແມ່ນທັກສະພື້ນຖານໃນຄະນິດສາດທີ່ພົບເຫັນການນຳໃຊ້ໃນຂົງເຂດຕ່າງໆເຊັ່ນ: ຟີຊິກ, ເສດຖະສາດ, ວິສະວະກຳ, ແລະ ວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ. ບົດຄວາມນີ້ມີຈຸດປະສົງເພື່ອສະໜອງພາບລວມທີ່ຄົບຖ້ວນກ່ຽວກັບວິທີການທີ່ນິຍົມໃຊ້ເພື່ອແກ້ໄຂສົມຜົນພ້ອມໆກັນ.

ແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານ

ກ່ອນທີ່ຈະເຂົ້າໄປໃນວິທີການແກ້ໄຂສົມຜົນພ້ອມໆກັນ, ມັນຈຳເປັນຕ້ອງເຂົ້າໃຈຄຳສັບ ແລະ ແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານບາງຢ່າງ.

- ຕົວແປ: ສັນຍະລັກທີ່ສະແດງຄ່າທີ່ບໍ່ຮູ້ຈັກ, ໂດຍປົກກະຕິແລ້ວສະແດງດ້ວຍຕົວອັກສອນເຊັ່ນ: x, y, ແລະ z.
- ສົມຜົນເສັ້ນຊື່: ສົມຜົນທີ່ຕົວແປຖືກຍົກຂຶ້ນເປັນກຳລັງໜຶ່ງ ແລະ ປະກົດຢູ່ໃນຮູບແບບເສັ້ນຊື່ (ຕົວຢ່າງ, \(2x + 3y = 6\)).
- ສົມຜົນບໍ່ເປັນເສັ້ນຊື່: ສົມຜົນທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຕົວແປທີ່ຍົກຂຶ້ນເປັນກຳລັງອື່ນນອກເໜືອຈາກໜຶ່ງ, ທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຜົນຄູນຂອງຕົວແປ, ຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ, ແລະອື່ນໆ (ຕົວຢ່າງ, \(x^2 + y^2 = 9\)).
- ລະບົບສົມຜົນ: ຊຸດຂອງສອງຫຼືຫຼາຍກວ່າສົມຜົນທີ່ມີຊຸດຕົວແປດຽວກັນ.

ລອງພິຈາລະນາຕົວຢ່າງມາດຕະຖານຂອງລະບົບສົມຜົນເສັ້ນຊື່:

\[
\begin{cases}
2x + 3y = 6 \\
4x − y = 5
\end{cases}
\]

ຄຳຕອບຂອງລະບົບນີ້ແມ່ນຄູ່ \((x, y)\) ໃດກໍໄດ້ທີ່ຕອບສະໜອງສົມຜົນທັງສອງພ້ອມໆກັນ.

ວິທີການແກ້ໄຂສົມຜົນພ້ອມໆກັນ

1. ວິທີການແບບກຣາບຟິກ

ວິທີການກຣາບຟິກກ່ຽວຂ້ອງກັບການວາງແຜນສົມຜົນແຕ່ລະອັນໃສ່ຕາຂ່າຍພິກັດ ແລະ ກຳນົດຈຸດທີ່ກຣາບຕັດກັນ. ຈຸດຕັດກັນສະແດງເຖິງຄຳຕອບຂອງລະບົບສົມຜົນ.

ຂັ້ນຕອນ:
1. ປ່ຽນແຕ່ລະສົມຜົນໃຫ້ເປັນຮູບແບບ \( y = mx + c \) ໂດຍທີ່ \( m \) ແມ່ນຄວາມຊັນ ແລະ \( c \) ແມ່ນຈຸດຕັດ y.
2. ແຕ້ມເສັ້ນທີ່ສະແດງໂດຍສົມຜົນເຫຼົ່ານີ້ໃສ່ກຣາຟ.
3. ຊອກຫາຈຸດຕັດກັນຂອງເສັ້ນ.

ຕົວຢ່າງ:
ພິຈາລະນາລະບົບສົມຜົນ:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 6 \\
4x − y = 5
\end{cases}
\]

ປ່ຽນຮູບແບບເຫຼົ່ານີ້ເປັນຮູບແບບຈຸດຕັດຄວາມຊັນ:
\[
\begin{cases}
y = -\frac{2}{3}x + 2 \\
y = 4x − 5
\end{cases}
\]

ແຕ້ມເສັ້ນຕ່າງໆໃສ່ກຣາຟເພື່ອຊອກຫາຈຸດຕັດກັນທີ່ເປັນຕົວແທນຂອງຄຳຕອບ. ໃນຕົວຢ່າງນີ້, ຄຳຕອບແມ່ນ \((x, y) = (1.5, 1)\).

2. ວິທີການທົດແທນ

ວິທີການທົດແທນກ່ຽວຂ້ອງກັບການແກ້ໄຂສົມຜົນໜຶ່ງສຳລັບຕົວແປໜຶ່ງ ແລະ ແທນຄ່າສຳນວນນັ້ນເຂົ້າໃນສົມຜົນອື່ນ.

ຂັ້ນຕອນ:
1. ແກ້ສົມຜົນໜຶ່ງສຳລັບຕົວແປໜຶ່ງ.
2. ແທນຄ່ານິພົດນີ້ເຂົ້າໃນສົມຜົນອື່ນ, ເຊິ່ງຈະໄດ້ສົມຜົນດຽວທີ່ມີຕົວແປດຽວ.
3. ແກ້ສົມຜົນຕົວແປດ່ຽວນີ້.
4. ແທນຄ່າທີ່ໄດ້ຮັບກັບຄືນໄປໃສ່ໃນນິພົດທີ່ພົບໃນຂັ້ນຕອນທີ 1 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ຄ່າຂອງຕົວແປທີສອງ.

ຕົວຢ່າງ:
ພິຈາລະນາລະບົບ:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 6 \\
4x − y = 5
\end{cases}
\]

ແກ້ສົມຜົນທຳອິດສຳລັບ \( y \):
\[
y = 2 – x
\]

ແທນທີ່ນິພົດນີ້ເຂົ້າໃນສົມຜົນທີສອງ:
\[
4x – (2 – \frac{2}{3}x) = 5
\]

ຫຼຸດຜ່ອນຄວາມງ່າຍ ແລະ ແກ້ສຳລັບ \(x\):
\[
4x – 2 + \frac{2}{3}x = 5 \\
\frac{14x}{3} = 7 \\
x = \frac{3}{2}
\]

ແທນຄ່າ \( x = \frac{3}{2} \) ກັບຄືນໃສ່ \( y = 2 – \frac{2}{3}x \):
\[
y = 2 – \frac{2}{3} \ຄູນ \frac{3}{2} = 2 – 1 = 1
\]

ດັ່ງນັ້ນ, ຄຳຕອບແມ່ນ \( (x, y) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) \).

3. ວິທີການກຳຈັດ

ວິທີການກຳຈັດກ່ຽວຂ້ອງກັບການບວກ ຫຼື ລົບສົມຜົນເພື່ອກຳຈັດຕົວແປໜຶ່ງ, ເຮັດໃຫ້ສາມາດແກ້ໄຂຕົວແປທີ່ຍັງເຫຼືອໄດ້.

ຂັ້ນຕອນ:
1. ຄູນສົມຜົນໜຶ່ງ ຫຼື ທັງສອງດ້ວຍຄ່າຄົງທີ່ ເພື່ອໃຫ້ສຳປະສິດຂອງຕົວແປໜຶ່ງຢູ່ກົງກັນຂ້າມ.
2. ບວກ ຫຼື ລົບສົມຜົນເພື່ອກຳຈັດຕົວແປໜຶ່ງຕົວ.
3. ແກ້ສົມຜົນທີ່ໄດ້ຮັບສຳລັບຕົວແປທີ່ເຫຼືອ.
4. ແທນຄ່ານີ້ເຂົ້າໃນສົມຜົນເດີມອັນໜຶ່ງເພື່ອຊອກຫາຄ່າຂອງຕົວແປທີ່ຖືກຕັດອອກ.

ຕົວຢ່າງ:
ພິຈາລະນາລະບົບ:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 6 \\
4x − y = 5
\end{cases}
\]

ຄູນສົມຜົນທີສອງດ້ວຍ 3:
\[
4x – y = 5 \\
12x − 3y = 15
\]

ບວກສົມຜົນທີສອງທີ່ຖືກດັດແກ້ໃສ່ສົມຜົນທຳອິດ:
\[
2x + 3y + 12x – 3y = 6 + 15 \\
14x = 21 \\
x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}
\]

ແທນຄ່າ \( x = \frac{3}{2} \) ໃສ່ໃນສົມຜົນເດີມອັນໜຶ່ງ:
\[
2 \left(\frac{3}{2}\right) + 3y = 6 \\
3 + 3y = 6 \\
3y = 3 \\
y = 1
\]

ດັ່ງນັ້ນ, ຄຳຕອບແມ່ນ \( \left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) \).

4. ວິທີການແມັດຕຣິກ (ການກຳຈັດ Gaussian ແລະ ການປີ້ນກັບ)

ສຳລັບລະບົບຂະໜາດໃຫຍ່ກວ່າ, ວິທີການ matrix ເຊັ່ນ: ການກຳຈັດ Gaussian ຫຼື ການໃຊ້ matrix inverse ສາມາດມີປະສິດທິພາບຫຼາຍກວ່າ.

ການລົບລ້າງ Gaussian:
1. ຂຽນລະບົບເປັນແມັດຕຣິກທີ່ເພີ່ມຂຶ້ນ.
2. ໃຊ້ການດຳເນີນງານແຖວເພື່ອປ່ຽນແມັດຕຣິກສ໌ໃຫ້ເປັນຮູບແບບລະດັບແຖວ.
3. ໃຊ້ວິທີ Back-substitution ເພື່ອຊອກຫາວິທີແກ້ໄຂ.

ຕົວຢ່າງ:
ລະບົບ:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 6 \\
4x − y = 5
\end{cases}
\]

ມາຕຣິກທີ່ເພີ່ມຂຶ້ນ:
\[
\begin{pmatrix}
2 & 3 & | & 6 \\
4 & -1 & | & 5
\end{pmatrix}
\]

ການປະຕິບັດງານແຖວໃນຮູບແບບລະດັບຊັ້ນແຖວ:
1. \( R2 \leftarrow R2 – 2R1 \):
\[
\begin{pmatrix}
2 & 3 & | & 6 \\
0 & -7 & | & -7
\end{pmatrix}
\]

ຕົວທົດແທນທາງຫຼັງ:
\[
-7y = -7 \ໝາຍຄວາມວ່າ y = 1 \\
2x + 3(1) = 6 \ ໝາຍຄວາມວ່າ 2x =