Projektilbewegung

Artikel iwwer d'Projektilbewegung a Beispillproblemer mat Léisungen

Ufanksgeschwindegkeet (v_o) an d'Komponente vun der Ufanksgeschwindegkeet (v_ox an v_oy)

En Objet, deem seng parabolesch Beweegunge ëmmer eng Ufanksgeschwindegkeet hunn. Well d'parabolesch Bewegung eng Kombinatioun vu Beweegungen an horizontaler a vertikaler Richtung ass, huet d'Ufanksgeschwindegkeet och horizontal a vertikal Komponenten.

Wann den Objet sech parabolesch beweegt, wéi an de Figuren 1 an 3, da ginn d'Ufanksgeschwindegkeet an horizontaler Richtung (v _ox ) an d'Ufanksgeschwindegkeet an vertikaler Richtung (v _oy ) mat der Equatioun berechent:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Wann den Objet sech parabolesch beweegt wéi an der Figur 2, dann ass v _o = v _ox (v _oy = 0)

Geschwindegkeet (v_x an v_y) a Positioun (x an y)

D'Geschwindegkeet an horizontaler a vertikaler Richtung an engem bestëmmten Zäitintervall gëtt mat der Equatioun berechent:

v _x = v _ox = konstant ( gläichméisseg linear Bewegung )

v _y = v _oy + gt oder v _y ² = v _oy ² + 2 gh (Fräifallbewegung)

D'Positioun vun Objeten an der horizontaler (x) an vertikaler (y) Richtung zu engem bestëmmten Zäitintervall gëtt mat der Equatioun berechent:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 ^gt²

Resultant vun der Geschwindegkeet (v) a Positioun (h)

Déi resultéierend Geschwindegkeet bei engem spezifizéierten Zäitintervall gëtt mat der Equatioun berechent:

D'Richtung vun Objeten an engem bestëmmten Zäitintervall gëtt mat der Equatioun berechent:

Notes:

1. Déi horizontal Komponent vun der parabolescher Bewegung gëtt als déi gläichméisseg linear Bewegung ugesinn, dofir ass vox = vx ëmmer konstant.

2. Déi vertikal Komponent vun der parabolescher Bewegung gëtt als Fräifallbewegung ugesinn, also wann den Objet sech parabolesch beweegt, wéi an de Figuren 1 an 3, ass déi vertikal Komponent vun der Geschwindegkeet vum Objet op maximaler Héicht null (v _y = 0). Wann Dir eng Kugel op maximaler Héicht no uewe werft, bleift den Objet fir e Moment roueg (v _y = 0), ier en no ënnen dréint. Dofir ass d'Geschwindegkeet vum Objet, deen d'Parabolesch Bewegung op maximaler Héicht beweegt, = v _x = v _ox

3. Wann den Objet sech parabolesch beweegt, wéi an der Figur 2 gewisen, gëtt déi vertikal Komponent vun der parabolescher Bewegung als Fräifallbewegung ugesinn. Wann den Objet sech parabolesch beweegt, wéi an de Figuren 1 an 3, dann gëtt déi vertikal Komponent vun der parabolescher Bewegung als no uewen vertikal Bewegung ugesinn.

Beispillproblemer:

1. Eng Kugel gëtt an horizontaler Richtung mat enger Ufanksgeschwindegkeet vun 20 m/s ofgefeiert. Wann d'Gewier 5 Meter iwwer dem Buedem ass, bestëmmt:

(a) Zäit an der Loft

(b) déi maximal Héicht

(c) den horizontalen Ofstand

(d) d'Geschwindegkeet vun der Kugel wann se de Buedem trëfft

Léisung:

Bewegung an horizontaler Richtung gëtt wéi déi gläichméisseg linear Bewegung analyséiert, während Bewegung an vertikaler Richtung wéi déi fräifallbewegung analyséiert gëtt.

Bekannt:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Zäit an der Loft

D'Léisung ass d'Bestimmung vum Zäitintervall (t) an der Fräifallbewegung.

Bekannt: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Gesicht: t

b) Déi maximal Héicht

Maximal Héicht = h = 5 Meter.

c) Horizontal Distanz (d)

D'Léisung ass wéi d'Bestimmung vun der Distanz op enger gläichméisseger linearer Bewegung

Bekannt: v _ox = 20 m/s, t = 1 Sekonn

Gesicht: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Geschwindegkeet wann d'Kugel de Buedem trëfft

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Als éischt berechnen mir déi endgülteg Geschwindegkeet a vertikaler Richtung (vty). D'Léisung ass wéi d'Bestimmung vun der endgülteg Geschwindegkeet vun der Fräifallbewegung.

Bekannt: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Gesicht: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

vt ₌ gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

v _t = 9.8 m/s

D'Geschwindegkeet vun enger Kugel wann se de Buedem trëfft:

Richtung vun der Kugel:

Well v _tx a Richtung vun der positiver x-Achs (no riets) an v _ty a Richtung vun der negativer y-Achs (no ënnen) ass,

D'Richtung vun der Kugel beim Treffen op de Buedem ass -26.1 ^° zu der positiver x-Achs (kuckt d'Figur hei ënnendrënner).

2. D'Kanoun huet eng Kugel an engem Wénkel vun 30 ^° zum Horizontal mat enger Geschwindegkeet vu 60 m/s ofgefeiert. Bestëmmt:

(a) déi maximal Héicht

(b) d'Geschwindegkeet vun der Kugel op maximaler Héicht

(c) Zäit an der Loft

(d) den horizontalen Ofstand

(e) d'Geschwindegkeet vun der Kugel wann se de Buedem trëfft. Huelt un, de Buedem ass flaach. 🙂

Léisung:

Bewegung an horizontaler Richtung gëtt analyséiert wéi déi gläichméisseg linear Bewegung, Bewegung an vertikaler Richtung gëtt analyséiert wéi déi no uewen vertikal Bewegung.

Bekannt: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Baséierend op bekannte Donnéeën, berechnen mir als éischt déi vertikal (v _oy ) an horizontal (v _ox ) Komponenten vun der Ufanksgeschwindegkeet (v _o ).

a) Déi maximal Héicht (h)

D'Léisung ass wéi d'Bestimmung vun der maximaler Héicht bei der opwäerts vertikaler Bewegung.

Bekannt:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Maximal Héicht (h)

D'Léisung ass wéi d'Bestimmung vun der maximaler Héicht bei der vertikaler Opwärtsbewegung.

Bekannt:

v _oy = 30 m/s (dëst ass d'Ufanksgeschwindegkeet vun der Kugel)

v _ty = 0 m/s (Op der maximaler Héicht ass d'vertikal Geschwindegkeet vun der Kugel = 0 m/s. Dëst ass déi endgülteg Geschwindegkeet.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Gesicht: h

vt² = _v² + ^2gh_​^​

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) Stonnen

0 = 900 – 19.6 Stonnen

900 = 19.6 Stonnen

h = 900/19.6

h = 45.9 Meter

Déi maximal Héicht, déi vun der Kugel erreecht gouf, = 45.9 Meter.

b) D'Geschwindegkeet op der maximaler Héicht

Op der maximaler Héicht ass d'Geschwindegkeet an der vertikaler Richtung = 0 m/s. Op der maximaler Héicht gëtt et nëmmen d'Geschwindegkeet an der horizontaler Richtung. D'Geschwindegkeet an der horizontaler Richtung op der maximaler Héicht ass gläich wéi d'Ufanksgeschwindegkeet an der horizontaler Richtung, déi 52.2 m/s ass. D'Richtung vun der Geschwindegkeet an der horizontaler Richtung ass ëmmer konstant, dat heescht a Richtung vun der positiver x-Achs (wann d'Bewegung vun engem Objet am uewe genannten Diagramm beschriwwe gëtt).

c) Zäit an der Loft

D'Léisung ass wéi d'Bestimmung vum Zäitintervall (t) an der Diskussioun vun der vertikaler Opwärtsbewegung.

Bekannt:

v _oy = 30 m/s (dëst ass d'Ufanksgeschwindegkeet vun der Kugel an der vertikaler Richtung)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (wann d'Kugel zréck op de Buedem kënnt, ass d'Verrécklung vun der Kugel an der vertikaler Richtung = 0 m)

Gesicht: t

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 Sekonnen

Zäit an der Loft = 6.12 Sekonnen

d) Horizontal Distanz (d)

D'Léisung ass wéi d'Bestimmung vun der Distanz (d) op der gläichméisseger linearer Bewegung.

Bekannt:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 Sekonnen

Gesicht: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 Sekonnen) = 319.5 m

e) Geschwindegkeet wann d'Kugel de Buedem trëfft

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Als éischt berechnen mir déi endgülteg Geschwindegkeet an der vertikaler Richtung (v _ty ). D'Léisung ass d'endgülteg Geschwindegkeet bei der vertikaler Opwärtsbewegung ze bestëmmen.

Gewënscht: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 Sekonnen

Gesicht: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

En negativt Zeechen weist un, datt d'Richtung vun der Endgeschwindegkeet no ënnen ass. Bedenkt datt d'Ufanksgeschwindegkeet a vertikaler Richtung gläich ass mat der Endgeschwindegkeet a vertikaler Richtung.

D'Geschwindegkeet vun der Kugel beim Treffen um Buedem:

D'Richtung vun der Kugel:

Well v _tx a Richtung vun der positiver x-Achs (no riets) an vty a Richtung vun der negativer y-Achs (no ënnen) ass,

D'Richtung vun der Geschwindegkeet vun der Kugel, wann se de Buedem trëfft, ass -30 ^° ëm déi positiv x-Achs (kuckt d'Figur hei ënnendrënner).

3. E Ball gëtt vum Rand vun engem 50 Meter héije Gebai mat enger Ufanksgeschwindegkeet vun 10 m/s geheit. Wann de Ball an engem Wénkel vun 30° ëm d'Horizontal geheit gëtt, bestëmmt:

(a) den Zäitraum, wou de Ball de Buedem erreecht

(b) d'Geschwindegkeet vum Ball wann en de Buedem trëfft

(c) déi horizontal Distanz, déi de Ball erreeche kann, gëtt vum Rand vum Gebai gemooss

(d) déi maximal Héicht, déi vum Ball erreecht gëtt

Léisung:

Als éischt berechnen mir déi vertikal Komponent (v _oy ) an déi horizontal Komponent (v _ox ) vun der Ufanksgeschwindegkeet (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Zäitintervall, wou de Ball de Buedem erreecht

D'Léisung ass wéi d'Bestimmung vum Zäitintervall (t) an enger vertikaler Opwärtsbewegung. D'Gréisst vum Vektor, deem seng Richtung no uewen ass, gëtt als positiv gewielt, d'Gréisst vum Vektor, deem seng Richtung no ënnen ass, gëtt als negativ gewielt. D'Positioun vum Ball, wou e geheit gëtt, gëtt als Referenzpunkt gewielt. h ass negativ, well d'Buedemuewerfläch ënner dem Referenzpunkt läit, g ass negativ, well d'Richtung vun der Schwéierkraaftbeschleunigung no ënnen ass.

Bekannt:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Gesicht: t

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 ^t²

-4.9 t² ⁺ 5 t + 5 = 0

Benotzt déi quadratesch Formel:

Zäit an der Loft = Zäitintervall zënter datt de Ball geheit gouf bis hien de Buedem erreecht huet = 1.64 Sekonnen.

b) Geschwindegkeet vum Ball wann en d'Uewerfläch vum Buedem trëfft

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Als éischt berechnen mir déi endgülteg Geschwindegkeet a vertikaler Richtung (v _ty ). D'Léisung ass wéi d'Bestimmung vun der endgülteg Geschwindegkeet bei der vertikaler Opwärtsbewegung.

Bekannt: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 Sekonnen

Gesicht: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Dat negativt Zeechen weist un, datt d'Richtung vun der Endgeschwindegkeet no ënnen ass.

D'Geschwindegkeet vun der Kugel beim Treffen um Buedem:

D'Richtung vun der Geschwindegkeet vun der Kugel = d'Richtung vun der Bewegung vun der Kugel beim Treffen um Buedem:

D'Geschwindegkeet vun der Kugel beim Treffen um Buedem:

Well vtx a Richtung vun der positiver x-Achs (no riets) an vty a Richtung vun der negativer y-Achs (no ënnen) ass,

D'Richtung vun der Kugel, wann se de Buedem trëfft, ass -52° ëm déi positiv x-Achs (kuckt d'Figur hei ënnendrënner).

c) Déi horizontal Distanz, déi de Ball erreeche kann, gëtt vum Rand vum Gebai gemooss.

D'Léisung ass wéi d'Bestimmung vun der zréckgeluechter Distanz (d) op der gläichméisseger linearer Bewegung.

Bekannt: t = 1.64 Sekonnen, v _x = 8.7 m/s

Gesicht: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Déi maximal Héicht, déi vum Ball erreecht gëtt

Bekannt: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( vertikal Komponent vun der Geschwindegkeet op der maximaler Héicht = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Gesicht: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (h)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (h)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (Stonn)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 Meter

Déi maximal Héicht, déi de Ball erreecht = 1.3 Meter iwwer dem Daach vum Gebai = 1.3 m + 50 m = 51.3 Meter iwwer der Buedemuewerfläch.