Artikel iwwer d'Kontinuitéitsgläichung
Probéiert de Waasserkran lues opzemaachen, während Dir op d'Geschwindegkeet vum Waasser oppasst, deen aus dem Krunn erauskënnt. Vergläicht elo, wou ass d'Geschwindegkeet vum Waasser méi séier, wann den Krunn zou ass oder net? Firwat ass dat sou? Fir dat ze verstoen, studéiert w.e.g. d'Kontinuitéitsgläichung.
Streamline
An engem stännege Stroum ass d'Geschwindegkeet vun all Flëssegkeetspartikel un engem Punkt, zum Beispill de Punkt A, ëmmer déiselwecht. Beim Passéiere vum Punkt B kann d'Geschwindegkeet vun de Flëssegkeetspartikelen sech änneren. Wéi och ëmmer, wann se um Punkt B ukommen, fléissen d'Flëssegkeetspartikelen, déi hannendrun kommen, mat der selwechter Geschwindegkeet wéi d'Flëssegkeetspartikelen, déi him virdru kommen. Och wann se um Punkt C ukommen, asw. D'Stroumlinn ass eng Kurv, déi d'Punkten A, B an C verbënnt.
Duerchflussrohr
Mir kënnen all Stréimlinn duerch all Punkt am Flëssegkeetsfloss beschreiwen. Wa mir e stännege Flëssegkeetsfloss feststellen, bilden e puer Stréimlinnen, déi e bestëmmte Wénkel op der imaginärer Uewerfläch passéieren, e Flossrouer. Keng Flëssegkeetspartikelen schneiden sech awer ëmmer parallel, an de Flossrouer gläicht engem Rouer, deem seng Form ëmmer nach déiselwecht ass. Flëssegkeet, déi un engem Enn vum Rouer erakënnt, kënnt um aneren Enn aus dem Rouer eraus.
[irp]
Ofbuchung
D'Entladung weist de Volumen vun enger Flëssegkeet un, déi duerch e bestëmmte Querschnitt an engem bestëmmten Zäitintervall fléisst. Mathematik kann et esou ausgedréckt ginn:
Entladung = Flëssegkeetsvolumen / Zäitintervall
Q = V / t
Fir Äert Verständnis ze verbesseren, benotze mir e Beispill. Zum Beispill fléisst Flëssegkeet duerch e Rouer. Réier si meeschtens zylindresch an hunn eng gewëssen Querschnittsfläch. D'Rouer huet och eng Längt.
Wann d'Flëssegkeet am Rouer bis L fléisst, ass de Volumen vun der Flëssegkeet am Rouer V = AL (V = Volumen vun der Flëssegkeet, A = Querschnittsfläche an L = Längt vum Rouer). Well soulaang se an engem Rouer laanscht L fléisst, brauch d'Flëssegkeet e bestëmmten Zäitintervall, da kënne mir soen, datt d'Quantitéit vun der Flëssegkeet ass:
Well v = s / t = L / t —> L = vt, gëtt d'Equatioun uewen geännert op:
Also, wann d'Flëssegkeet fir eng gewëssen Zäit duerch e Rouer fléisst, dat eng bestëmmte Querschnittsfläch a Längt huet, ass d'Quantitéit vun der Flëssegkeetsoflaf (Q) gläich der Querschnittsfläch (A) multiplizéiert mat der Flëssegkeetsstroumgeschwindegkeet (v).
D'Equatioun vun der Kontinuitéit
Iwwerpréift de Flëssegkeetsfloss an engem Päif mat engem aneren Duerchmiesser, wéi an der Figur hei ënnendrënner gewisen.
Dëst Bild weist de Flëssegkeetsfloss vu lénks no riets (Flëssegkeet fléisst vun engem Rouer mat groussen Duerchmiesser an e klengen Duerchmiesser). Déi gestreckt Linn ass rationaliséiert.
A1 = Querschnittsfläche vun engem Päif mat groussen Duerchmiesser, A2 = Querschnittsfläche vun engem klengen Duerchmiesser, v1 = Geschwindegkeet vum Flëssegkeetsstroum an engem Päif mat groussen Duerchmiesser, v2 = Geschwindegkeet vum Flëssegkeetsstroum an engem Päif mat klengem Duerchmiesser, L = Distanz, déi vun der Flëssegkeet zréckgeluecht gëtt.
An engem stännege Stroum ass d'Geschwindegkeet vum Stroum vun de Flëssegkeetspartikelen an engem Punkt gläich wéi d'Geschwindegkeet vum Stroum vun anere Flëssegkeetspartikelen, déi duerch dee Punkt ginn. De Flëssegkeetsstroum kräizt sech och net (d'Linne si parallel). Dofir muss d'Mass vun der Flëssegkeet, déi an een Enn vum Rouer erakënnt, gläich sinn wéi d'Mass vun der Flëssegkeet, déi um aneren Enn erauskënnt. Wann d'Flëssegkeet eng gewësse Mass huet, déi an d'Rouer mat engem groussen Duerchmiesser kënnt, da geet d'Flëssegkeet iwwer e Rouer mat klengem Duerchmiesser an der selwechter Mass eraus.
Betruecht elo d'Figur vum Päif uewen. Kuckt Iech d'Päif mat groussen Duerchmiesser an d'Päif mat klengem Duerchmiesser un.
Wärend engem bestëmmten Zäitintervall fléissen e puer Flëssegkeeten duerch den Deel vum Rouer mat engem groussen Duerchmiesser (A1 ) bis zu L1 ( L1 = v1t ) . De Volumen vun der fléissender Flëssegkeet ass V1 = A1 L1 = A1v1t . Wärend dem selwechten Zäitintervall fléissen e puer aner Flëssegkeeten duerch den Deel vum Rouer mat klengem Duerchmiesser (A2 ) bis zu L2 ( L2 = v2t ) . De Volumen vun der fléissender Flëssegkeet ass V2 = A2 L2 = A2v2t.
[irp]
D'Kontinuitéitsgläichung fir inkompressibel Flëssegkeeten
An inkompressible Flëssegkeeten ass d'Flëssegkeetsdicht ëmmer déiselwecht op all Punkt wou se passéiert. D'Flëssegkeetsmass, déi an engem Rouer mat enger Querschnittsfläch vun A1 (groussen Rouerduerchmiesser) während engem bestëmmten Zäitintervall fléisst, ass:
Och d'Mass vun der Flëssegkeet, déi an engem Rouer mat enger Querschnittsfläch vun A2 (klengen Duerchmiesser vum Rouer) während engem bestëmmten Zäitintervall fléisst, ass :
An engem stännege Stroum ass d'Mass vun der agekommender Flëssegkeet d'selwecht wéi d'Mass vun der erauskommender Flëssegkeet, also:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
A 1 géint 1 = A 2 géint 2
Also, d'Equatioun vun der Kontinuitéitsgläichung an inkompressiblen Flëssegkeeten:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Equatioun 1
A1 = Querschnittsfläche 1, A2 = Querschnittsfläche 2, v1 = Geschwindegkeet vum Flëssegkeetsstroum an der Sektioun 1, v2 = Geschwindegkeet vum Flëssegkeetsstroum an der Sektioun 2, Av = Duerchflussquote vum Volumen (V / t) = Oflaf.
D'Equatioun 1 weist, datt den Oflaf op all Punkt laanscht d'Päif oder d'Stroumrouer ëmmer dee selwechte ass. Wann de Päifquerschnëtt erofgeet, klëmmt de Flëssegkeetsduerchfluss, während wann de Päifquerschnëtt méi grouss gëtt, de Flëssegkeetsduerchfluss kleng gëtt.
[irp]
Wann en Deel vum Krunn zou ass, gëtt de Waasserfloss méi schwéier wéi wann en Deel vum Krunn net zou ass. Dat läit dorun, datt d'Querschnittsfläch vum Krunn kleng gëtt, wann en Deel vum Krunn zou ass, sou datt de Waasserfloss eropgeet. Mee et ass essentiell ze wëssen, datt de Floss oder d'Oflaf vu Flëssegkeeten op all Punkt vum Waasserfloss ëmmer d'selwecht ass, egal ob en Deel vum Krunn zou ass oder net. Also, wat ännert sech mam Floss vun der Flëssegkeet?
A wéi gesäit et dann mam Waasserfloss am Floss aus? Den déiwen Deel vum Floss huet e méi grousse Querschnitt wéi den flaachen Deel vum Floss, dofir ass d'Waasserflossgeschwindegkeet am déiwen Floss méi kleng wéi d'Geschwindegkeet vum Waasserfloss am flaachen Deel vum Floss.
D'Gleichung vun der Kontinuitéit fir kompressibel Flëssegkeeten
Bei kompriméierte Flëssegkeeten ass d'Dicht vun der Flëssegkeet net ëmmer déiselwecht. An anere Wierder, d'Flëssegkeetsdicht ännert sech beim Kompriméiere. Wann d'Flëssegkeet net kompriméiert gëtt, gëtt d'Dicht vun der Flëssegkeet aus der Equatioun ewechgeholl, sou datt an dësem Fall d'Flëssegkeetsdicht an der Equatioun abegraff ass. Mat Bezuch op déi Equatioun, déi virdru ofgeleet gouf, loosst eis d'Equatioun fir déi kompriméiert Flëssegkeet ofleeden.
D'Mass vun der Flëssegkeet, déi erakënnt, ass gläich wéi d'Mass vun der Flëssegkeet, déi erauskënnt, also:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
Den Intervall vum Flëssegkeetsfloss ass dee selwechten, sou datt en eliminéiert ka ginn. D'Equatioune änneren sech op:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Equatioun 2
Dëst ass d'Equatioun fir déi kompriméiert Flëssegkeet. Den Ënnerscheed läit an der Dicht vun der Flëssegkeet. Wann d'Flëssegkeet kompriméiert gëtt, ännert sech d'Dicht. Am Géigendeel, wann d'Flëssegkeet net kompriméiert gëtt, ass d'Dicht ëmmer déiselwecht, sou datt se aus der Equatioun erausgeholl ka ginn.
Beispillproblem 1:
Waasser fléisst duerch e Rouer mat engem Duerchmiesser vun 10 cm mat enger Geschwindegkeet vun 2 m/s. Wéi héich ass den Oflaf vum Waasser?
Bekannt:
Rohrdurchmesser = 10 cm
Radius vum Rouer (r) = 5 cm = 0.05 m
Waassergeschwindegkeet (v) = 2 m/s
Gesicht: Debitkaart
Léisung:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m) ² (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0.0157 m³ / s
[irp]
Beispillproblem 2:
E Rouer mat engem Duerchmiesser vun 20 cm ass mat engem anere Rouer mat engem Duerchmiesser vun 10 cm verbonnen. Wann d'Waassergeschwindegkeet an engem Rouer mat engem Duerchmiesser vun 20 cm 4 m/s ass, wat ass dann d'Waassergeschwindegkeet an engem Rouer mat engem Duerchmiesser vun 10 cm?
Bekannt:
Duerchmiesser 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0.1 m)
v1 = 4 m/ s
Duerchmiesser 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0.05 m)
Gesicht: v 1
Äntwert:
Q 1 = Q 2
A 1 géint 1 = A 2 géint 2
(π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 m) ² (4 m/s) = (0.05 m) ² ( v² )
(0.01 m² ) (4 m/s) = (0.0025 m² ) ( v² )
(0.04 m³ / s) = (0.0025 m² ) ( v² )
v2 = 16 m/ s
[irp]
