Materia Aequationis Continuitatis
Conare fistulam aquariam lente aperire, dum fluxum aquae e fistula profluentis observas. Ubi fistula desiit verti, fistulam manu partim obstrue. Nunc compara utrum fluxus aquae maior sit. Cum partim obstructus an non? Si fistulam habes quae ad flores rigandos solet adhiberi, aquam per eam fluere sine. Fistulam manu vel digito partim obstrue. Quo plus pars fistulae obstructa est, eo celerius aqua fluet. Contra, si fistula non obstructa est, minus celerius aqua fluet. Cur ita est? Ut hoc intelligas, aequationem continuitatis stude.
Lineae Fluentes et Tubi Fluentes
Primum, notiones linearum aëriarum et tuborum fluxus intellegamus. Haec notio magni momenti est quia aequationem continuitatis intellegere adiuvabit.
Linea fluminis
Inspice imaginem infra, linea caerulea est linea fluxionis.
In fluxu stabili, velocitas cuiusque particulae fluidae in puncto quodam, puta puncto A, constans manet. Cum punctum B transit, velocitas particularum fluidarum mutari potest. Tamen, cum ad punctum B pervenerint, particulae fluidae quae post se sequuntur eadem velocitate fluere pergunt ac particulae fluidae quae eas praecesserunt. Idem valet cum ad punctum C pervenitur, et sic porro. Linea linearis est curva puncta A, B, et C connectens.
Tubus fluxus
Essentialiter, singulas lineas lineares per singula puncta in fluxu fluido ducere possumus. Si fluxum fluidum stabilem consideramus, numerus linearum linearium per certum angulum in superficie imaginaria (area superficiei imaginariae) transiens tubum fluxus format. Nullae particulae fluidi inter se intersecant, sed semper parallelae sunt, et tubus fluxus simile erit tubo qui semper eandem formam habet. Fluidum ingressus per unum finem tubi tubum per alterum finem exibit.
Debita
Fluxus indicat volumen fluidi per certam sectionem transversalem in certo intervallo temporis fluentis. Mathematice, sic exprimi potest:
Ut intellegentiam tuam melius intelligamus, exemplo utamur. Finge fluidum per tubum fluere. Tubi plerumque cylindrici sunt et aream sectionis transversalis specificam habent. Tubus etiam longitudinem habet.
Cum fluidum in tubo usque ad L fluit, tum volumen fluidi in tubo est V = AL (V = volumen fluidi, A = area sectionis transversalis et L = longitudo tubi). Quia durante fluxu in tubo secundum L fluidum certum intervallum temporis percurrit, tum dicere possumus magnitudinem emissionis fluidi esse:
Quia v = s/t = L/t → L = vt, aequatio supra mutatur ad hanc:
Ergo, cum fluidum per tubum quae aream sectionis transversalis et longitudinem certam habet per certum intervallum temporis fluit, magnitudo emissionis fluidi (Q) aequalis est areae superficiei sectionis transversalis (A) multiplicatae per velocitatem fluxus fluidi (v).
Aequatio Continuitatis
Fluxum fluidi in tubo cum diversis diametris, ut in figura infra demonstratur, considera.
Haec imago fluxum fluidi a sinistra ad dextram ostendit (fluidum a tubo magno diametro ad tubum parvo diametro fluit). Lineae punctatae lineae lineares sunt.
Titulus imaginis: A 1 = area sectionis transversalis sectionis tubi magni diametri, A 2 = area sectionis transversalis sectionis tubi parvi diametri, v 1 = velocitas fluxus fluidi in sectione tubi magni diametri, v 2 = velocitas fluxus fluidi in sectione tubi parvi diametri, L = spatium a fluido percursum.
In introductione ad dynamicam fluidorum, explicatum est in dynamica fluidorum nos de fluxu fluidorum loqui quae sunt incompressibilia, non viscosa, non turbulenta, et stabilia. In fluxu stabili, velocitas particularum fluidi in puncto quodam eadem est ac velocitas aliarum particularum fluidi per illud punctum transeunt. Fluxus fluidi etiam inter se non intersecantur (lineae aereae parallelae sunt). Ergo, massa fluidi unum extremum tubi ingredientis aequalis esse debet massae fluidi alterum extremum exeuntis. Si fluidum cum certa massa tubum cum magno diametro intrat, tunc fluidum cum parvo diametro cum massa constanti exibit tubum.
Nunc, imaginem tubi supra inspice. Partem tubi diametro maiore et partem tubi diametro minore considera.
Per certum temporis intervallum, certa fluidi quantitas per sectionem tubi magni diametro (A) fluit.1) usque ad L1 (L1 v =1 t). Volumen fluidi fluentis est V1 A =1 L1 A =1 v1 t. Eodem tempore, alia fluidi quantitas per tubi sectionem minoris diametro (A) fluit.2) usque ad L2 (L2 v =2 t). Volumen fluidi fluentis est V2 A =2 L2 A =2 v2 t.
Aequatio Continuitatis pro Fluidis Incompressibilibus (incompressibilis)
Primum, casum fluidi incompressibilis consideremus. In fluido incompressibili, densitas, sive massa, fluidi semper eadem est in quovis puncto per quod transit. Massa fluidi fluentis in tubo cum area sectionis transversalis A1 ( diametro magno tubi) per certum intervallum temporis est:
Similiter, massa fluidi fluentis in tubo cum area sectionis transversalis A² ( diametro tubi parvo) per certum intervallum temporis est:
Cum in fluxu constanti massa fluidi ingredientis eadem sit ac massa fluidi exeuntis, tum:
m₁ = m₂
ρ A₁ v₁ t = ρ A₂ v₂ t (densitas fluidi et intervallum temporis eaedem sunt , ergo se abolent)
A 1 contra 1 = A 2 contra 2
Ergo, in fluidis incompressibilibus, aequatio continuitatis valet:
A₁ v₁ = A₂ v₂ — Aequatio 1
dictis:
A1 = area sectionis transversalis 1, A2 = area sectionis transversalis 2, v1 = velocitas fluxus fluidi ad sectionem transversalem 1, v2 = velocitas fluxus fluidi ad sectionem transversalem 2, Av = celeritas fluxus voluminis V/t sive emissio.
Aequatio 1 demonstrat fluxum voluminis, etiam effluvium appellatum, semper eandem esse in omni puncto tubi vel fluxus. Cum sectio transversa tubi decrescit, fluxus fluidi augetur; contra, cum sectio transversa tubi crescit, fluxus fluidi decrescit.
Cum fistulam partim obstruimus, fluxus aquae fit velocior quam cum fistula partim clausa est. Hoc fit quia area sectionis transversalis fistulae decrescit cum fistula partim clausa est, augens celeritatem fluxus aquae (fluidum celerius fluit). Idem valet de tubis flexibilibus. Attamen, notandum est celeritatem fluxus voluminis sive exonerationis eandem manere in omnibus punctis fluxus aquae, sive fistula partim clausa est sive non. Ergo, quod mutatur est celeritas fluxus fluidi.
Quid igitur de fluxu aquae in flumine? Partes altiores fluminis sectionem transversam maiorem habent quam partes minores, itaque celeritas fluxus aquae in partibus altioribus minor est quam in partibus minores. Si fluxum fluminis tranquillissimum vides, id significat flumen esse profundum. Sed si flumen subito celeriter fluit, ea pars certe superficialis est. Attamen, celeritas fluxus voluminis aquae semper eadem est, sive in partibus profundis sive tranquillis fluminis.
Aequatio Continuitatis pro Fluidis Compressibilibus (compressibilis)
In fluidis compressibilibus , densitas fluidi non semper eadem est. Aliis verbis, densitas fluidi mutatur cum comprimitur. Dum in fluidis incompressibilibus , densitas fluidi ex aequatione eliminatur, hoc in casu densitas fluidi adhuc includitur. Ad aequationem antea derivatam spectantes, aequationem pro fluidis compressibilibus derivemus.
Cum in fluxu constanti massa fluidi ingredientis eadem sit ac massa fluidi exeuntis, tum:
m₁ = m₂
ρ A₁ v₁ t = ρ A₂ v₂ t
Intervallum temporis fluxus fluidi idem est, ita eliminari potest. Aequatio mutatur ad:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Aequatio 2
Haec est aequatio fluidi compressibilis. Sola differentia in densitate fluidi consistit. Cum fluidum comprimitur, eius densitas mutatur. Contra, cum fluidum incompressibile est, eius densitas constans manet et deleri potest.
Exemplum quaestionis quartae:
Aqua per tubum diametro 10 cm celeritate 2 m/s fluit. Quid est fluxus aquae?
Disputatio
Constat:
Diameter tubi = 10 cm (hic est diameter interior tubi)
Radius tubi (r) = 5 cm = 0,05 m
v aqua = 2 m/s
Quaesitum: Debetum
Responsum:
Q = A v
Q = (π/r² ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
Exemplum quaestionis quartae:
Tubus aquarius diametro 20 cm cum alteri tubo diametro 10 cm coniunctus est. Si celeritas fluxus aquae in tubo diametro 20 cm = 4 m/s est, quae est celeritas fluxus aquae in tubo diametro 10 cm?
Disputatio
Constat:
Diameter 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0,1 m)
v² = 4 m/s
Diameter 2 = 10 cm (r² = 5 cm = 0,05 m)
Quaesitum: v. 1
Responsum:
Q1 = Q2
A 1 contra 1 = A 2 contra 2
( π r 12 ) ( 4 m/s ) = ( π r 22 ).
(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² ( v² )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v² = 16 m/s
