Exempla Problematum Rotationis Mathematicae Disputantium
Pendahuluan
Rotatio est transformatio geometrica saepe in mathematica, praesertim in geometria, invenitur. Rotatio implicat rotationem obiecti circa punctum specificum (centrum rotationis) per angulum specificum sive secundum directionem horariam sive sinistram. Conceptus rotationis maximi momenti est in campis ut graphica computatralis, physica, et ingeniaria. Hic articulus varia exempla et disputationes de rotatione in mathematica explorabit.
Intellegendo Rotationem
Rotatio est transformatio quae movet unumquodque punctum obiecti rotando illud circa punctum fixum, quod centrum rotationis appellatur, certo angulo in certa directione. Notatio generalis pro rotatione cum angulo θ et centro rotationis (a, b) scribi potest ut R_(a, b)(θ).
Pro puncto P(x, y) rotato per gradus θ, centro rotationis ad originem (0, 0), novae coordinatae P' (x', y') post rotationem obtinebuntur utens formula:
- x' = x cos θ - y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Pergamus cum exemplis quibusdam problematum rotationis cum disputationibus eorum completis.
Exempla Quaestionum et Disputationis
Exemplum Quaestionis 1
Quaestio: Novas coordinatas puncti A(3, 4) determina postquam id 90 gradus contra horologium rotatum est, centro rotationis ad originem (0, 0) posito.
Disputatio: Formula rotationis cum angulo 90 graduum contra horologium utens:
- x' = x cos(90°) - y sin(90°) = 3(0) — 4(1) = -4
- y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Ergo, novae coordinatae A' post rotationem sunt (-4, 3).
Exemplum Quaestionis 2
Quaestio: Punctum B(2, -1) 180 gradibus secundum horologium rotatur, centro rotationis in origine (0, 0) manente. Novas coordinatas puncti B post rotationem determina.
Disputatio: Rotatio 180 graduum sive dextra sive sinistra ratione idem resultat, nempe coordinatae puncti ad (-x, -y) mutantur.
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Ergo, novae coordinatae B' sunt (-2, 1).
Exemplum Quaestionis 3
Quaestio: Punctum C(-3, 5) 270 gradibus contra horologium rotatur, centro rotationis ad originem (0, 0) posito. Punctum C post rotationem determina.
Disputatio: Rotatio 270 graduum contra horologium aequivalet rotationi 90 graduum secundum horologium.
- x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
- y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Ergo, novae coordinatae C' post rotationem sunt (5, -3).
Exemplum Quaestionis 4
Quaestio: Novas coordinatas puncti D(5, 5) determina postquam illud 45 gradibus rotatum est, centro rotationis ad originem (0, 0) sito.
Disputatio: Formula rotationis cum angulo 45 graduum utens:
- x' = x cos(45°) - y sin(45°) = 5(cos(45°))- 5(sin(45°)) = 5(√2/2) — 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Ergo, novae coordinatae D' post rotationem sunt (0, 5√2).
Rotatio cum Centro Rotationis Extra Originem
Rotationes non semper circa originem peraguntur. Exempli gratia, finge nos punctum cum centro rotationis (h, k) rotare velle. Ad hoc faciendum, coordinatas sic adaptare debemus:
1. Punctum ita transfer ut (h, k) origo fiat.
2. Formula rotationis utere.
3. Ad locum pristinum revertere.
Exemplum Quaestionis 5
Quaestio: Punctum E(5, 7) 90 gradibus contra horologium rotatur, centro rotationis in puncto (2, 3). Novas coordinatas puncti E post rotationem determina.
Disputatio:
1. Punctum E ad originem transferre respectu centri rotationis (2, 3):
– Novum punctum E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. 90 gradus contra horologium circum novum punctum rota:
- x' = 3 cos(90°) — 4 sin(90°) = -4
- y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Ergo, coordinatae post rotationem sunt (-4, 3).
3. Translatio ad situm originalem respectu centri rotationis (2, 3):
– Punctum extremum E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Ergo, novae coordinatae puncti E post rotationem sunt (-2, 6).
conclusio
Analysare et intellegere rotationes mathematicas in variis applicationibus est maximi momenti. Per exempla et disputationes supra scripta, lectores exspectantur ut intellegant quomodo formulae rotationis functionem praestent et quomodo ad varias condiciones applicari possint. Hoc exercitium non solum fundamenta mathematicae confirmat, sed etiam utile est in aliis campis transformationes geometricas implicantibus.
