Exempla Quaestionum et Disputatio de Subtractione Vectoriali
Pendahuluan
In mathematica et physica, vectores sunt notio fundamentalis ad explicanda multa phaenomena naturalia et machinalia adhibita. Vector est quantitas quae et magnitudinem et directionem habet. Exempla quaedam vectorum magni momenti sunt dislocatio, velocitas, acceleratio, et vis. In hoc articulo, de subtractione vectorum disseremus, quamquam hoc argumentum saepe in contextu combinationis vectorum exaggeratur.
Subtractio vectoris est operatio fundamentalis quae in analysi vectoris maximi momenti est. Ut hanc notionem altius investigemus, exempla problematum et disputationes ad subtractionem vectoris pertinentes recenseamus.
Subtractio Vectorialis
Subtractio vectoris A – B definitur ut operatio addendi vectorem A cum vectore -B, ubi -B est vector eadem magnitudine ac B sed directione opposita. Mathematice, hoc scribi potest ut:
{\mathbf{A} - \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
Exempla Quaestionum et Disputationis
Quaestio 1: Subtractio Vectorium Bidimensionalium
Ponamus duos vectores in coordinatis Cartesianis esse:
A = (4, 3) et B = (1, 2). Computa A – B.
Disputatio:
Primum gradum est invenire vectorem negativum B, nempe:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
Deinde, vectorem {\displaystyle \mathbf{A}} cum {\displaystyle -\mathbf{B}} adde:
{\mathbf{A}- \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}
Additionem vectoris perficite addendo singulas partes x et y:
{\mathbf{A} - \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\mathbf{A}- \mathbf{B} = (3, 1)}
Ergo, ex subtractione vectorum A – B evenit vector (3, 1).
Quaestio II: Subtractio Vectorum Tridimensionalium
Datis duobus vectoribus in coordinatis tridimensionalibus:
P = (2, -4, 6) et Q = (-3, 5, 7). Computa P – Q.
Disputatio:
Primum gradum est invenire vectorem negativum Q:
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
Deinde, vectorem {\displaystyle \mathbf{P}} cum {\displaystyle -\mathbf{Q}} adde:
{\mathbf{P} - \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
Additionem vectoris perficite addendo singulas partes x, y, et z:
{\mathbf{P} - \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\mathbf{P} - \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
Ergo, ex subtractione vectorum P – Q evenit vector (5, -9, -1).
Quaestio III: Subtractio Vectoris in Plano Complexo
Ponamus duos vectores numeris complexis repraesentari:
M = 3 + 4i et N = 1 + 2i. Computa M – N.
Disputatio:
Primum gradum est invenire vectorem negativum functionis: `N`
{\mathbf{N} = -1-2i}
Deinde, vectorem {\displaystyle \mathbf{M}} cum {\displaystyle -\mathbf{N}} adde:
{\mathbf{M} - \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1-2i)}
Additionem vectoris perficias addendo singulas partes reales et imaginarias:
{\mathbf{M} - \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\mathbf{M} - \mathbf{N} = 2 + 2i}
Ergo, ex subtractione vectorum M – N evenit numerus complexus 2 + 2i.
Quaestio IV: Subtractio Vectoris in Systemate Coordinatarum Polarium
Ponamus duos vectores in coordinatis polaribus esse:
magnitudinem 5 et angulum 30° habet,
et magnitudinem 3 et angulum 150° habet.
Computare {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}}.
Disputatio:
Primum gradum est vectores U et V ad coordinatas Cartesianas convertere.
Ad ostentationem \mathbf{U}}:
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
Ita igitur U in aequatione Cartesiana est (4.33, 2.5).
Ad ostentationem \mathbf{V}}:
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}
Ergo V in aequatione Cartesiana est (-2.598, 1.5).
Gradus proximus, subtractionem vectoris Cartesiana ratione computa:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
Quod significat addendo negativum vectoris:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
Ergo, ex subtractione vectoris U – V in coordinatis Cartesianis evenit (6.928, 1).
conclusio
Subtractio vectoris est operatio mathematica necessaria in multis campis quae analysin vectorem utuntur. Sive in systematibus coordinatarum bidimensionalibus, tridimensionalibus, complexis, sive polaribus, principium fundamentale idem manet: addendo unum vectorem ad negativum alterius. Exempla supra illustrant varias vias applicandi hanc operationem in diversis contextibus, adiuvantes nos intellegere conceptum profundius et practicius.
