Exemplum quaestionis disputationis de coefficiente determinationis
Coefficiens determinationis (R²) est parametrus magni momenti in analysi regressionis, indicans quam bene exemplar regressionis variabilitatem actualem datorum explicet. In hoc articulo, notionem coefficientis determinationis per exemplum accuratum et disputationem explicabimus.
Conceptus Fundamentalis Coefficientis Determinationis
Coefficiens determinationis sive ∫(R^²) in scala a 0 ad 1 metitur, ubi:
– \(R^2 = 0 \) indicat exemplar regressionis variabilitatem datorum omnino explicare non posse.
– \(R^2 = 1 \) demonstrat exemplar regressionis omnem variabilitatem datorum perfecte explicare posse.
Formula fundamentalis ad coefficientem determinationis computandum est:
`R² = 1 – SSR/SST`
Ubi:
– SSR (Summa Residuorum Quadratorum) est summa quadratorum differentiarum inter valores a modello praedictos et valores reales.
– SST (Summa Quadratorum Totalis) est summa summae quadratorum differentiarum inter valorem actualem et medium valorum actualium.
Exempla problematum
Exemplum problematis disseramus ut calculum coefficientis determinationis altius intellegamus.
Exempla problematum:
Ponamus nos habere notitias de numero horarum studiorum (X) et notis examinationum (Y) decem discipulorum:
| Discipuli | Horae Studiorum (X) | Puncta Examinis (Y) |
|——-|——————–|———————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Simplex exemplar regressionis linearis creabimus ubi notae examinationum (Y) secundum horas studiorum (X) praedicuntur.
Disputatio
1. Aedificatio Simplicis Modeli Regressionis Linearis
Simplex exemplar regressionis linearis hanc formam habet:
`Y = a + bX` }
Ubi:
– \(Y \) est praedicta probationis nota.
– \(X\) est numerus horarum studiorum.
– \(a \) est intersectio axis (punctum intersectionis in axe Y cum X = 0).
– \(b \) est inclinatio lineae regressionis (declivitas).
Ad parametros \(a\) et \(b\) computandos, hac formula utimur:
`b = \frac{n(\summa{XY}) – (\summa{X})(\summa{Y})}{n(\summa{X^2}) – (\summa{X})^2}``
`a = \frac{\summa{Y} – b(\summa{X})}{n}`
Ubi ∫(n) est numerus datorum (hoc in casu n = 10).
Ex tabula computare possumus:
– (summa X = 36)
– (summa Y = 704)
– (summa X² = 140)
– (\summa{Y^2} = 50428\)
– (summa XY = 2576)
Primum b computemus:
`b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2}`
`b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296}`]
`b = \frac{416}{104}`]`
`b = 4`
Deinde, computamus:
`a = \frac{704 – 4(36)}{10}`]
`a = \frac{704 – 144}{10}`]`
`a = \frac{560}{10}`
`a = 56`
Ergo, exemplar regressionis linearis quod obtinemus est:
`Y = 56 + 4X`
2. Valorem Praedictum (Y') Computa
Deinde, valorem praedictum ∫(Y') pro quolibet ∫(X) computamus:
| Discipuli | Horae Studiorum (X) | Puncta Examinis (Y) | Puncta Praedicta (Y') |
|——-|———————–|———————–|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | (56 + 4(2) = 64) |
| 2 | 3 | 64 | (56 + 4(3) = 68) |
| 3 | 4 | 70 | (56 + 4(4) = 72) |
| 4 | 5 | 85 | (56 + 4(5) = 76) |
| 5 | 2 | 57 | (56 + 4(2) = 64) |
| 6 | 3 | 68 | (56 + 4(3) = 68) |
| 7 | 4 | 72 | (56 + 4(4) = 72) |
| 8 | 5 | 90 | (56 + 4(5) = 76) |
| 9 | 3 | 62 | (56 + 4(3) = 68) |
| 10 | 4 | 78 | (56 + 4(4) = 72) |
3. SSR et SST computando
Deinde, SSR et SST computamus ut \(R^2 \) obtineamus.
SSR:
`SSR = \summa{(Y – Y')^2}`
SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2
\[SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36\]
`SSR = 454`
SST:
\[ SST = \sum{(Y - \bar{Y})^2} \]
Ubi:
`Y` = summa Y/n = 704/10 = 70.4`
\[SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76\] (Nota: Numerus substantiarum superfluarum in summa est 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76)
\[SST = 1107.44 \]
4. Coefficiens Determinationis (R^2) computatur:
`R² = 1 – SSR/SST`
`R² = 1 – \frac{454}{1107.44}`
\[R^² = 1 – 0.41\]
`R² = 0.59`
conclusio
Ex computatione supra scripta, coefficientem determinationis (R² = 0.59) obtinuimus. Hoc indicat exemplar regressionis linearis a nobis creatum circiter 59% variabilitatis in notis examinationum secundum horas studiorum explicare posse. Reliqua 41% variabilitatis aliis factoribus in exemplari non inclusis oriri potest.
Intelligentia graduum et calculorum supra dictorum, momentum coefficientis determinationis in aestimando quam bene exemplar regressionis quod construimus variabilitatem actualem datorum explicat videre possumus. Instrumentum perutile est in analysi statistica et exemplari datorum.
