Quattuor Exempla Quaestionum de Connexione Rotae
1. Duae rotae A et B taenia coniunguntur (vide imaginem). Si radius A duplus est radii B, tum quod fit est...
A. vA = 2 vB
B. vA = 1/2 vB
C. vA = vB
D. ωA = ωB
E. ωA = 2 ωB
Disputatio
Constat:
Radius rotae A (rA) = bis radius rotae B (2 rB)
Rogatus/a:
– Relatio inter celeritatem linearem rotae A (vA) et celeritatem linearem rotae B (vB)
– Relatio inter velocitatem angularem rotae A (ωA) et velocitatem angularem rotae B (ωA).
Responsum:
Rotae A et B taenia coniunguntur, ita ut cum rota A rotatur, rota B quoque rotetur. Si intra unum secundum superficies rotae A unum metrum movetur, tum superficies rotae B etiam unum metrum intra unum secundum movetur. Ergo velocitas linearis rotae A eadem est ac velocitas linearis rotae B (vA = vB).
Ex altera parte, si rota B unam rotationem perfecit, rota A unam rotationem non perfecit quia circumferentia rotae B minor est, dum circumferentia rotae A maior est. Aliis verbis, velocitas angularis rotae A non eadem est ac velocitas angularis rotae B. Quaenam est relatio inter velocitatem angularem rotae A et velocitatem angularem rotae B?
Celeritas rotae A: vA = rA ωA = 2rB ωA
Celeritas rotae B: vB = rB ωB
Celeritas rotae A eadem est ac celeritas rotae B:
vA = vB
2rB ωA = rB ωB
2ωA = ωB
ωA = 1/2 ωB
Responsum rectum est C.
2. Tres rotae A, B et C inter se conexae sunt ut in figura demonstratur. Si radii rotarum A, B et C 20 cm, 8 cm et 4 cm respective sunt, et rota B velocitate angulari 10 rad.s rotatur...-1, deinde rota C rotatur cum velocitas angularis tam magnus quam…
A. 80 rad.s-1
B. 50 rad.-1
C. 40 rad.s-1
D. 20 rad.s-1
E. 10 rad.s-1
Disputatio
Constat:
Radius rotae A (rA) = 20 cm = 0,2 metra
Radius rotae B (rB) = 8 cm = 0,08 metra
Radius rotae C (rC) = 4 cm = 0,04 metra
Velocitas angularis rotae B (ωB) = 10 rad/s
Quaestio: Velocitas angularis rotae C (ωC)
Responsum:
Velocitas angularis et velocitas linearis coronae rotae A
Rota A et rota B inter se conexae sunt, ita simul rotantur. Si rota B in circulo una revolutione (360°) rotatur, tum eodem tempore, rota A etiam in circulo una revolutione (360°) movetur. Quia simul rotantur, velocitas angularis rotae A (ωA) eadem est ac velocitas angularis rotae B (ωB).
Velocitas angularis rotae A:
ωA = ωB = 10 radiani/secundum
Velocitas linearis coronae rotae A:
Magnitudo velocitatis linearis marginis rotae A calculatur utens formula pro relatione inter velocitatem linearem et velocitatem angularem, v = rω.
vA = rA ωA = (0,2 m)(10 rad/s) = 2 m/s
Velocitas angularis et velocitas linearis coronae rotae C
Circumferentia rotae A multo maior est quam circumferentia rotae C. Cum rota C in circulo unam revolutionem (360°) mota est, eodem tempore rota A nondum unam revolutionem perfecit (360°).o). Ergo, velocitas angularis rotae A non eadem est ac velocitas angularis rotae C.
Rotae autem A et C inter se fune vel catena coniunguntur. Quia coniunctae sunt, eodem tempore, spatium a margine rotae A peractum idem est ac spatium a margine rotae C peractum. Ergo celeritas linearis marginis rotae C (vC) eadem est ac celeritas linearis marginis rotae A (vA).
Velocitas linearis orbis rotae C:
vC = vA = 2 m/s
Velocitas angularis rotae C:
vC = rC ωC
ωC = vC / rC = 2 / 0,04 = 50 radiani/secundum = 50 rad.s-1.
Responsum rectum est B.
3. Systema rotarum cum radiis RA = 2 cm; RB = 4 cm et RC = 10 cm conexum est ut in figura monstratur. Rota B sexaginta revolutionibus per minutum rotatur, ergo celeritas linearis rotae C est…
A. 8π cm.s-1
B. 12 cm.-1
C. 12π cm.s-1
D. 24 cm.-1
E. 24π cm.s-1
Disputatio
Constat:
Radius rotae A (rA) = 2 cm
Radius rotae B (rB) = 4 cm
Radius rotae C (rC) = 10 cm
Velocitas angularis rotae B (ωB) = 60 revolutiones/minutum = 60 revolutiones/60 secunda = 1 revolutio/secundum = 1(2π radian)/secundum = 2π rad/s
Quaestio: Velocitas linearis rotae C (vC)
Responsum:
Velocitas linearis orbis rotae B
Velocitas linearis marginis rotae B:
vB = rB ωB = (4 cm)(2π rad/s) = 8π cm/s
Velocitas linearis coronae rotae A
Rota A et rota B fune coniunguntur, ita velocitas linearis marginis rotae A (vA) eadem est ac velocitas linearis marginis rotae B (vB).
vA = vB = 8π cm/s
Velocitas linearis orbis rotae C
Rota C et rota A fune coniunguntur, ita velocitas linearis marginis rotae C (vC) eadem est ac velocitas linearis marginis rotae A (vA).
vC = vA = vB = 8π cm/s
Responsum rectum est A.
4. Considera sequentes relationes rotarum! Radii rotae RA = 25 cm, RB = 15 cm, RC = 40 cm, et rota C rotatur celeritate rotationis 60 revolutionum per minutum. Velocitas angularis rotae A est…
A. 2,5π rad.s-1
B. 3π rad.s-1
C. 3,2π rad.s-1
D. 3,5π rad.s-1
E. 3,8π radii per secundam-1
Disputatio
Constat:
Radius rotae A (rA) = 25 cm = 0,25 metra
Radius rotae B (rB) = 15 cm = 0,15 metra
Radius rotae C (rC) = 40 cm = 0,4 metra
Velocitas angularis rotae C (ωC) = 60 revolutiones/minutum = 60 revolutiones/60 secunda = 1 revolutio/secundum = 1(2π radian)/secundum = 2π rad/s
Quaestio: Velocitas angularis rotae A (ωA)
Responsum:
Velocitas linearis orbis rotae C:
vC = rC ωC = (0,4 m) (2π rad/s) = 0,8π m/s
Velocitas linearis orbis rotae B
Rota C et rota B fune coniunguntur, ita velocitas linearis marginis rotae C (vC) eadem est ac velocitas linearis marginis rotae B (vB).
vB = vC = 0,8π m/s
Velocitas angularis et velocitas linearis coronae rotae A
Rota A et rota B inter se connexae sunt ut in imagine supra monstratur, ergo velocitas angularis rotae A non eadem est ac velocitas angularis rotae B. Hoc fit quia circumferentia rotae A maior est quam circumferentia rotae B. Eodem tempore, cum rota A in circulo una revolutione (360°) mota est...o), rota B nondum unam rotationem attigit (360o). Attamen, eodem tempore intervallo, spatium a margine rotae A percursum idem est ac spatium a margine rotae B percursum. Ergo celeritas linearis marginis rotae A (vA) eadem est ac celeritas linearis marginis rotae B (vB).
Velocitas linearis coronae rotae A
vA = vB = vC = 0,8π m/s
Velocitas angularis rotae A
vA = rA ωA
ωA = vA / rA = 0,8π / 0,25 = 3,2π rad/s
Responsum rectum est C.
