Бернуллис принциби жана Бернуллис теңдемеси жөнүндө макала
Мотоцикл айдаганда кийимдерибиз артка карай шишип калат. Кээде шамал катуу соксо, эшик өзүнөн өзү жабылып калышы мүмкүн. Шамал үйдүн сыртында соксо да, эшик үйдүн ичинде болот.
Муну Бернулли принцибин колдонуу менен түшүндүрүүгө болот. Даниел Бернулли (1700-1782) жогорудагы кубулушту түшүндүрүү үчүн колдонула турган принципти ачкан.
Бернулли принциби
Бернуллинин принциби боюнча, суюктуктун агымынын ылдамдыгы жогору болгон жерде суюктуктун басымы төмөн болот. Тескерисинче, эгер суюктуктун агымынын ылдамдыгы төмөн болсо, суюктуктун басымы жогору болот. Мотоцикл тез кыймылдаганда, денеңиздин алдыңкы жана каптал жагындагы аба ылдамдыгы жогору болот. Ошентип, аба басымы төмөндөйт. Денеңиздин арткы бөлүгү денеңиздин алдыңкы бөлүгү менен тосулуп калат, ошондуктан денеңиздин арткы жагындагы аба ылдамдыгы жогорулабайт. Натыйжада, денеңиздин арткы жагындагы аба басымы жогорулайт. Анткени аба басымында айырма бар, мында дененин арткы жагындагы аба басымы абадан жогору болгондуктан, көйнөгүңүздү артка түртүп, кийимиңиз артка карай шишип кеткендей көрүнөт.
Ал эми үйдүн сыртындагы шамал соккондо өзүнөн-өзү жабылып калган эшик жөнүндө эмне айтууга болот? Үйдүн сыртындагы аба үйдүн ичиндеги абага караганда тезирээк кыймылдайт. Натыйжада, үйдүн сыртындагы аба басымы үйдүн ичиндеги аба басымынан кичине болот. Басым айырмасы болгондуктан, үйдүн ичиндеги аба басымы чоң болгон жерде эшик сыртка түртүлөт. Башкача айтканда, эшиктин жалбырагы аба басымы чоң болгон жерден аба басымы аз болгон жерге жылат.
Бернулли теңдемеси
Буга чейин биз Бернуллинин принциби жөнүндө билгенбиз. Бернулли бул принципти сандык жактан да иштеп чыккан. Бернуллинин теңдемесин чыгаруу үчүн, суюктуктун агымы туруктуу жана ламинардык, кысылбаган, илешкектүүлүгү минималдуу болгондуктан, аны эске албай коюуга болот деп эсептейбиз.
Үзгүлтүксүздүк теңдемесин талкуулоодо биз суюктуктун агым ылдамдыгы агым түтүгүнүн агым аянтына жараша да өзгөрүшү мүмкүн экенин билдик. Жогоруда сүрөттөлгөн Бернулли принцибине таянып, суюктуктун басымы суюктуктун агым ылдамдыгына жараша да өзгөрүшү мүмкүн. Суюктуктун басымы суюктуктун бийиктигине жараша да өзгөрүшү мүмкүн. Басым, агым ылдамдыгы жана агым бийиктигинин ортосундагы байланышты Бернулли теңдемесинен алууга болот.
Бернулли теңдемеси абдан маанилүү, анткени аны учактардын учууларын, гидроэлектр станцияларын, түтүк системаларын ж.б. талдоо үчүн колдонсо болот. Бернулли теңдемесин жалпысынан чыгаруу үчүн, суюктуктун кесилиш аянты бирдей эмес жана бийиктиги да ар башка болгон агым түтүгү аркылуу агып өтөт деп болжолдойбуз. Бернулли теңдемесин чыгаруу үчүн, биз агым түтүгүндөгү суюктукка жумуш жана энергия теоремасын колдонобуз.
Төмөндөгү сүрөттөгү агым түтүгүндөгү тунук эмес түс суюктуктун агымын көрсөтүп турат, ал эми ак түс суюктуктун агымын көрсөтпөйт.
1-кесилиш аянтындагы (сол жактагы) суюктук L1ге чейин агып , 2-кесилиштеги (оң жактагы) суюктукту L2ге чейин жылдырат . Оң жактагы 2-кесилиш аянты кичине болгондуктан, агым түтүгүнүн оң жагындагы суюктуктун агымынын ылдамдыгы чоңураак (үзгүлтүксүздүк теңдемесин эстеңиз). Бул 2-кесилиш (агым түтүгүнүн оң жагы) менен 1-кесилиш (агым түтүгүнүн сол жагы) ортосунда басым айырмасын пайда кылат – Бернуллинин принцибин эстеңиз. 1-кесилиштин сол жагындагы суюктук оң жактагы суюктукка басым (P1) берет жана төмөнкүдөй иштейт :
Анда W1 теңдемесин төмөнкүдөй жазууга болот:
W 1 = p 1 A 1 L 1
2-бөлүмдө (агым түтүгүнүн оң жагы) суюктукка жасалган жумуш төмөнкүдөй:
W 2 = − p 2 A 2 L 2
Терс белги колдонулган күчтүн кыймыл багытына карама-каршы экенин көрсөтөт. Демек, суюктук 2-кесилиштин оң жагында иштейт. Андан тышкары, тартылуу күчү суюктукка иштейт. Жогорудагы учурда, кээ бир суюктук массалары 1-кесилиштен L1ге чейинки 2-кесилишке L2ге чейинки аралыкта өткөрүлөт , мында 1-кесилиштеги суюктуктун көлөмү (A 1 L 1 ) = 2-кесилиштеги суюктуктун көлөмү (A 2 L 2 ). Тартылуу күчү аткарган жумуш:
W 3 = − мг (саат 2 − саат 1 )
W 3 = − мг/с 2 + мг/с 1 )
W 3 = мг/сах 1 − мг/сах 2
Терс белги суюктуктун тартылуу күчүнүн багытына карама-каршы өйдө карай агып чыгышынан келип чыгат. Ошентип, суюктукка жасалган жалпы жумуш төмөнкүдөй:
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мг1 - мг2
Жумуш-энергия теоремасы системада аткарылган жалпы жумуш кинетикалык энергиянын өзгөрүшүнө барабар экенин айтат. Ошентип, биз жумушту (W) кинетикалык энергиянын өзгөрүшү (EK 2 – EK 1 ) менен алмаштыра алабыз.
Жогорудагы теңдемени кайрадан жазууга болот:
W = P1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мг1 - мг2
EK2 - ЭК1 = P1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мг1 - мг2
½ мв22 – 1⁄2 мв12 = P1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мг1 - мг2
Lге чейин агып өткөн суюктук массасы1 А кесилишинде1 = L чейин агып өткөн суюктуктун массасы2 (кесилиш А2). Суюктуктун массасы, айталы, m, А көлөмүнө ээ1 L1 жана Ж2 L2 кайда1 L1 = А.2 L2 (L2 Lден узунураак1).
Эми жогорудагы теңдемедеги mди m = ρ AL менен алмаштырабыз:
Бул Бернуллинин теңдемеси. Бернуллинин теңдемеси жумуш-энергия принцибине негизделип, энергиянын сакталуу законунун бир түрү болуп саналат.
P = басым, ρ = тыгыздык, v = суюктуктун ылдамдыгы, g = тартылуу күчүнүн ылдамдануусу, h = түтүктүн жерден бийиктиги.
Жогорудагы Бернулли теңдемесинин сол жана оң сегменттери агым түтүгүнүн каалаган жериндеги эки чекитке тиешелүү болушу мүмкүн, ошондуктан жогорудагы теңдемени төмөнкүдөй кайра жаза алабыз:
Эми Бернуллинин теңдемесин айрым учурлар үчүн карап көрөлү.
Статикалык суюктуктардагы Бернуллинин теңдемеси
Бернулли теңдемесинин өзгөчө учуру статикалык суюктук үчүн, мында суюктуктун ылдамдыгы жок. Ошентип, v 1 = v 2 = 0. Статикалык суюктук учурунда Бернулли теңдемесин төмөнкүдөй формула менен түзсөк болот:
Эгерде h2 – h1 = h болсо, бул теңдемени төмөнкүдөй жазууга болот:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
Бирдей бийиктиктеги түтүк боюнча Бернуллинин теңдемеси
Эгерде түтүктүн бийиктиги бирдей болсо, Бернуллинин теңдемеси төмөнкүдөй өзгөрөт:
