Бүтүн сандар жана алардын касиеттери
Бүтүн сандар математикадагы эң негизги түшүнүктөрдүн бири, бирок алар күнүмдүк жашоодо маанилүү ролду ойнойт. Биз буюмдарды санаганда, нөлдөн төмөн температураны аныктаганда, жертөлөдөгү кабаттардын санын эсептегенде же бизнестеги киреше менен чыгымдарды каттаганда, биз чындыгында бүтүн сандар менен иш алып барабыз. Бүтүн сандарды жана алардын касиеттерин түшүнүү арифметиканы, алгебраны жана ал тургай жогорку деңгээлдеги математикалык түшүнүктөрдү үйрөнүүнү жеңилдетет.
Бүтүн сандарды аныктоо
Бүтүн сандар – бул терс бүтүн сандардан, нөлдөн жана оң бүтүн сандардан турган сандар жыйындысы. Көп учурда бүтүн сандар жыйындысын көрсөтүү үчүн колдонулган символ Z (немисче Zahlen сөзүнөн келип чыккан, "сандар" дегенди билдирет). Жалпысынан алганда, бүтүн сандарды төмөнкүдөй жазууга болот:
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
0 жана оң сандарды гана камтыган бүтүн сандардан айырмаланып, бүтүн сандар терс сандарды камтыйт, ошондуктан алар ар кандай кырдаалдарды толук сүрөттөйт.
Күнүмдүк жашоодогу бүтүн сандардын мисалдары
Бүтүн сандар адамдын ишмердүүлүгү менен тыгыз байланышта. Аларды колдонуунун айрым мисалдары:
1. Абанын температурасы: -5°C температура нөлдөн 5 градус төмөн экенин билдирет.
2. Бийиктик: -20 метр бийиктик деңиз деңгээлинен 20 метр төмөн жайгашкан жерди билдириши мүмкүн.
3. Каржы: -50 000 баланс 50 000 карызды же жетишсиздикти билдирет.
4. Имараттын кабаты: Адатта, жер төлө үчүн -1 же -2-кабат колдонулат.
5. Оюндун эсеби: Айрым оюндарда эсеп көбөйүшү же азайышы мүмкүн, ошентип оң жана терс сандарды камтыйт.
Бул мисалдардан бүтүн сандар бизге нөлдү шилтеме чекити катары колдонуп, "чоң", "кичине" же "барабар" абалдарын билдирүүгө жардам берерин көрүүгө болот.
Бүтүн сан сызыгы
Бүтүн сандарды түшүнүү үчүн биз көп учурда сан сызыгын колдонобуз. Сан сызыгы - бул сандарды белгилүү бир позицияларга жайгаштыруучу түз сызык:
– Оң сандар нөлдүн оң жагында жайгашкан.
– Терс сандар нөлдүн сол жагында жайгашкан.
– Мааниси канчалык оңго карай алыстаса, ошончолук чоң болот.
– Сол жак канчалык алыс болсо, мааниси ошончолук кичине болот.
Сан сызыгы менен биз бүтүн сандарды оңой салыштыра алабыз. Мисалы, -2 саны -5тен чоң, анткени -2 саны -5тен оң жакта жайгашкан.
Бүтүн сандардын касиеттери
Бүтүн сандар математикалык амалдарда бир нече маанилүү касиетке ээ. Бул касиеттер эсептөөлөрдү жүргүзүүдө, алгебралык туюнтмаларды жөнөкөйлөштүрүүдө же түшүнүктөрдү далилдөөдө абдан пайдалуу.
1. Жабык жаратылыш (жабылуу)
Бүтүн сандар жыйындысы белгилүү бир операциялар боюнча жабылат, башкача айтканда, эгерде биз ал операцияларды бүтүн сандар менен аткарсак, натыйжа дагы эле бүтүн сан болот.
– Кошуу: Эгерде a жана b бүтүн сандар болсо, анда a + b да бүтүн сан болот.
Мисал: -3 + 7 = 4
– Кемитүү: Эгерде a жана b бүтүн сандар болсо, анда a − b дагы бүтүн сан болот.
Мисал: 5 − 12 = -7
– Көбөйтүү: Эгерде a жана b бүтүн сандар болсо, анда a × b дагы бүтүн сан болот.
Мисал: (-4) × 6 = -24
Бирок, бүтүн сандар бөлүүгө карата дайыма эле жабык боло бербейт, анткени бөлүүнүн жыйынтыгы бөлчөк болушу мүмкүн.
Мисал: 1 ÷ 2 = 1/2 (бүтүн сан эмес).
2. Коммутативдик мүлк (алмаштыруу)
Коммутативдик касиет сандардын тартибин натыйжаны өзгөртпөстөн алмаштырууга болорун билдирет.
– Кошуу: a + b = b + a
Мисал: 2 + (-5) = (-5) + 2 = -3
– Көбөйтүү: a × b = b × a
Мисал: (-3) × 4 = 4 × (-3) = -12
Кемитүү жана бөлүү коммутативдик эмес экенин эстен чыгарбоо керек.
Мисал: 7 − 2 ≠ 2 − 7.
3. Ассоциативдик касиеттер (топтоштуруу)
Ассоциативдик касиет сандардын амалдагы топтоштуруу ыкмасы натыйжаны өзгөртпөй тургандыгын билдирет.
– Кошуу: (a + b) + c = a + (b + c)
Мисал: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6
– Көбөйтүү: (a × b) × c = a × (b × c)
Мисал: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24
Коммутативдик амалдар сыяктуу эле, ассоциативдик касиет кемитүүгө жана бөлүүгө да тиешелүү эмес.
4. Бөлүштүрүүчү касиеттер (таралышы)
Бөлүштүрүү касиети көбөйтүү амалдарын кошуу же кемитүү менен байланыштырат:
– а × (b + c) = (а × b) + (а × c)
Мисал: 3 × (2 + 5) = (3 × 2) + (3 × 5) = 6 + 15 = 21
– a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
Мисал: 4 × (10 − 3) = 40 − 12 = 28
Бул касиет алгебралык формаларды жөнөкөйлөштүрүүдө жана теңдемелерди чыгарууда абдан маанилүү.
5. Идентификация элементтери (кошуу жана көбөйтүүнүн идентификациялары)
Идентификация – бул башка санга колдонулганда анын маанисин өзгөртпөгөн сан.
– Аддитивдик окшоштук 0гө барабар: a + 0 = a
Мисал: -9 + 0 = -9
– Көбөйтүүнүн бирдейлиги 1ге барабар: a × 1 = a
Мисал: 8 × 1 = 8
Идентификациялар бизге математикалык амалдардагы нейтралдуу түшүнүктү түшүнүүгө жардам берет.
6. Тескери элементтер (карама-каршы сандар)
Ар бир бүтүн сандын кошумча тескериси бар, ал санды кошкондо 0гө тең келген санга карама-каршы келет.
– а санына тескери сан –а, демек: а + (-а) = 0
Мисал: 6 + (-6) = 0, жана -4 + 4 = 0
Бирок, бардык эле бүтүн сандар көбөйтүүдө тескери мааниге ээ эмес. Мисалы, 2нин көбөйтүндү тескериси 1/2, ал бүтүн сан эмес.
7. Иштөөдөгү оң жана терс белгилер
Бүтүн сандарда оң жана терс белгилер көбөйтүү жана бөлүү үчүн атайын эрежелерди берет:
– (+) × (+) = (+)
– (+) × (-) = (-)
– (-) × (+) = (-)
– (-) × (-) = (+)
Мисал:
– 3 × (-2) = -6
– (-5) × (-4) = 20
Кошуу жана кемитүү үчүн биз көбүнчө сан сызыгы түшүнүгүн же эрежени колдонобуз:
– Терс сандарды кошуу “кемитүү” менен бирдей.
– Терс санды кемитүү "кошуу" менен бирдей.
Мисал:
– 7 + (-3) = 4
– 5 − (-2) = 7
Корутунду
Бүтүн сандар – бул терс сандардан, нөлдөн жана оң сандардан турган сандардын жыйындысы. Бул сандар абдан маанилүү, анткени алар жашоодогу ар кандай шарттарды, мисалы, нөлдөн төмөн температураны, каржылык жоготууларды же деңиз деңгээлинен төмөн жайгашкан жерлерди сүрөттөй алышат. Бүтүн сандар ошондой эле жабык (кошуу, кемитүү жана көбөйтүү үчүн), коммутативдик, ассоциативдик, бөлүштүрүүчү, бирдейлик жана аддитивдик тескери касиеттерге ээ. Бүтүн сандардын касиеттерин түшүнүү менен биз эсептөөлөрдү оңой аткарып, амалдарды жөнөкөйлөтүп, алгебра, теңдемелер жана башка сан системалары сыяктуу кийинки математикалык темаларды үйрөнөбүз.
Кааласаңыз, мен бул макаланын башталгыч/орто мектеп деңгээли үчүн (жөнөкөй) версиясын же практикалык суроолор жана талкуулар менен толук кандуу кагаз сыяктуу расмий версиясын жасай алам.
