Operasyonên li ser Hejmarên Kompleks
Hejmarên kompleks têgeheke matematîkî ne ku hejmarên rastîn û xeyalî bi hev re dihewîne. Ew ji bo gelek şaxên zanistê bingehîn in, di nav de fîzîk, endezyarî û matematîk bi xwe. Di vê gotarê de, em ê li ser cûrbecûr operasyonan ku dikarin li ser hejmarên kompleks werin kirin, di nav de komkirin, jêkirin, pirbûn, dabeşkirin û hwd., lêkolîn bikin.
Têgihîştina Hejmarên Kompleks
Her hejmareke kompleks dikare bi şiklê \(a+bi\) were nivîsandin, ku \(a\) û \(b\) hejmarên rastîn in û \(i\) yekîneyeke xeyalî ye ku \(i^2 = -1\) têr dike. Terma \(a\) wekî beşa rastîn tê binavkirin, lê \(b\) wekî beşa xeyalî ya hejmara kompleks tê binavkirin. Bo nimûne, \(3 + 4i\) hejmareke kompleks e ku beşa rastîn 3 û beşa xeyalî 4 heye.
Wekî wekheviya bingehîn, me heye:
\[ i^2 = -1 \]
Ev tê wê maneyê ku \(i\) koka çargoşeyî ya -1 e.
Komkirin û Kêmkirin
Komkirin û jêbirina hejmarên kompleks bi komkirin û jêbirina beşên rastîn û xeyalî bi rêzê ve têne kirin. Ferz bikin ku du hejmarên kompleks (z_1 = a + bi) û (z_2 = c + di) hene, wê hingê:
\[ z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]
\[ z_1 – z_2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i \]
Mînak:
Bila \(z_1 = 3 + 4i \) û \(z_2 = 1 + 2i \) bin, wê demê:
\[ z_1 + z_2 = (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i \]
\[ z_1 – z_2 = (3-1) + (4-2)i = 2 + 2i \]
Pirkirin
Lêzêdekirina hejmarên kompleks belavkeran wekî di cebirê de bi kar tîne lê \( i^2 = -1 \) li ber çavan digire. Bifikirin \( z_1 = a + bi \) û \( z_2 = c + di \), wê hingê:
\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]
\[ = ac + adi + bci + bd(-1) \]
\[ = ac + adi + bci – bd \]
\[ = (ac – bd) + (ad + bc)i \]
Mînak:
Bila \(z_1 = 3 + 4i \) û \(z_2 = 1 + 2i \) bin, wê demê:
\[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(1 + 2i) \]
\[ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2i + 4i \cdot 1 + 4i \cdot 2i \]
\[ = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \]
\[ = 3 + 10i + 8(-1) \]
\[ = 3 + 10i – 8 \]
\[ = -5 + 10i \]
Belavkirinî
Dabeşkirina hejmarên kompleks bi pirkirina hejmarker û jimarkerê li ser hevgirêka hevgirê tê kirin. Hevgirêka hejmara kompleks \(z = a + bi \) \( \overline{z} = a – bi \) ye.
Ferz bike ku \(z_1 = a + bi \) û \(z_2 = c + di \), hingê:
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \]
Bi konjugata jimarkerê ve zêde dibe:
\[ = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} \]
\[ = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]
Mînak:
Bila \(z_1 = 3 + 4i \) û \(z_2 = 1 + 2i \) bin, wê demê:
Konjugat \(z_2 = 1 – 2i \).
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 – 2i}{1 – 2i} \]
\[ = \frac{(3 + 4i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} \]
\[ = \frac{3 – 6i + 4i – 8i^2}{1 – 4i^2} \]
Tê zanîn ku \( i^2 = -1 \):
\[ = \frac{3 – 6i + 4i + 8}{1 + 4} \]
\[ = \frac{11 – 2i}{5} \]
\[ = \frac{11}{5} – \frac{2i}{5} \]
\[ = 2.2 – 0.4i \]
Modulus û Arguman
Modula hejmareke kompleks dûrahiya ji eslê xwe di plana kompleks de heta xala ku ji hêla hejmareke kompleks ve tê temsîlkirin e. Modula hejmareke kompleks \(z = a + bi \) wekî \( |z| \) tê îfadekirin û bi vî awayî tê hesibandin:
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Mînak:
Eger \( z = 3 + 4i \) be, wê demê:
\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Argumana hejmareke kompleks ew goşeya ku hejmara kompleks bi eksena rastîn di plana kompleks de çêdike ye û bi gelemperî bi radyan an pileyan tê îfade kirin.
Forma Polar
Hejmarên kompleks dikarin bi şêweya qutbî jî werin îfadekirin. Ev form pir caran hesabên ku hêz û rehên hejmarên kompleks dihewînin hêsan dike. Hejmareke kompleks dikare wiha were îfadekirin:
\[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]
ku \(r\) modul e û \(theta\) argumana jimara kompleks e.
Operatorên din ên tevlihev: Eksponensîyal û Logarîtmîk
Veguherandina hejmarên kompleks bo forma eksponansiyel dikare bi karanîna formula Euler were kirin:
\[ z = re^{i\theta} \]
ku \(e\) bingeha logarîtma xwezayî ye, û \(theta\) argumana \(z\) ye.
Berfirehkirina hejmarên kompleks di gelek operasyonan de pir bikêrhatî ye, nemaze di analîza Fourier û veguherînên Laplace de.
Xelasî
Hejmarên kompleks amrazek bingehîn in ku di çareserkirina cûrbecûr pirsgirêkên matematîk û zanistê de pir bikêr in. Fêmkirina operasyonên bingehîn ên wekî komkirin, jêkirin, pirbûn û dabeşkirinê gavek yekem a girîng e. Wekî din, têgihîştina têgehên modul, arguman û veguherîna bo formên qutbî û eksponansiyel şiyana me ya lêkolîna sepanên hejmarên kompleks di warên cûrbecûr de zêde dike.
Bi têgihîştin û sepandina hejmarên kompleks, em dikarin pirsgirêkên ku dibe ku çareserkirina wan bi tenê bi hejmarên rastîn dijwar an jî ne mumkin be çareser bikin. Wekî amûrek analîtîk a bihêz, hejmarên kompleks heta roja îro jî beşek yekgirtî ya matematîk û sepanên zanistî ne.
