Nirxa Pêşbînîkirî ya Belavkirina Binomial
Belavkirina duqatî yek ji belavkirinên îhtîmala cuda yên herî gelemperî ye ku di îstatîstîk û îhtîmalê de tê dîtin. Ev belavbûn hejmara serkeftinan di rêze ceribandinên duqatî yên serbixwe de (ceribandinên bi tenê du encam: serkeftin an têkçûn) vedibêje. Ji bo ku belavkirina duqatî çêtir were fêmkirin, girîng e ku meriv têgeha nirxa hêvîkirî fam bike, ku nirxa navînî ya ceribandinek ku di demek dirêj de tê dubarekirin vedibêje. Ev gotar dê têgeha nirxa hêvîkirî di çarçoveya belavkirina duqatî de binirxîne.
Pênasîna Belavkirina Binomî
Belavkirina dualî di rewşên ku em hejmarek ceribandinên wekhev û serbixwe pêk tînin de derdikeve holê, û her ceribandinek du encamên hevdu-veqetandî hene, ku bi gelemperî wekî "serkeftin" û "têkçûn" têne binavkirin. Bo nimûne, avêtina pereyek (serî an dûvik), bersivdayîna pirsek azmûnê (rast an xelet), an ceribandinek bijîşkî (baş bûye an nehatiye dermankirin).
Belavkirina binomî bi du parametreyan tê pênasekirin:
– n, hejmara ceribandinan.
– p, îhtîmala serkeftinê di her ceribandinê de.
Bi awayekî xav, eger X guhêrbarek rasthatî be ku hejmara serkeftinan di n ceribandinan de temsîl dike, wê demê X belavkirinek duqutbî bi parametreyên n û p dişopîne, ku wekî X ~ Binomial(n, p) tê destnîşan kirin.
Fonksiyona Îhtimalê
Fonksiyona îhtimalê ya belavkirina binomî wiha ye:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
mera:
– \( \binom{n}{k} \) koefîsyenta duqutbî ye, ku wekî \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) tê hesibandin.
– \( k \) hejmara serkeftinên xwestî ye.
– \(n \) hejmara ceribandinan e.
– \( p \) îhtîmala serkeftinê li ser her ceribandinê ye.
– \( (1-p) \) îhtîmala têkçûnê di her ceribandinê de ye.
Nirxa Pêşbînîkirî
Nirxa çaverêkirî an navînîya belavkirina îhtimalê yek ji pîvanên herî girîng ên cihê navendî ye. Ji bo belavkirina duqat, nirxa çaverêkirî ya guherbarek rasthatî X ku li dû Duqat(n, p) tê ev e:
\[ E(X) = np \]
Delîlên Nirxa Pêşbînîkirî
Ji bo fêmkirina çima nirxa bendewar a belavkirina duqatî np ye, em dikarin taybetmendiya xêzikbûnê ya nirxa bendewar bikar bînin û bibînin ka guhêrbarên duqatî çawa beşdarîya xwe zêde dikin.
Werin em \(X\) wekî hejmara serkeftinan di n ceribandinên dualî de pênase bikin. Bi taybetî, bila \(X_i\) guhêrbarek rasthatî be ku encama ceribandina i-emîn nîşan dide, ku \(X_i = 1\) ger ceribandina i-emîn serketî be, û \(X_i = 0\) ger têkçûn be. Wê demê, em dikarin \(X\) wekî binivîsin:
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Ji ber ku her \(X_i\) guhêrbarek dualî ye ku îhtîmala serkeftinê p heye, nirxa çaverêkirî ya \(X_i\) ev e:
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
Em dikarin taybetmendiya xêzikî ya nirxa çaverêkirî ji bo nirxa çaverêkirî ya X bikar bînin:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ E(X) = np \]
Ev nîşan dide ku nirxa bendewar a belavkirina binomial np e.
Mînaka Nimûneyî
Rewşa ku em 10 caran pereyek maqûl diavêjin bifikirin. Werin em bipirsin ka nirxa bendewar a jimara avêtinên ku dibin sedema serî dê çi be.
Di vê rewşê de:
– n = 10 (hejmara avêtina pereyan)
– p = 0.5 (îhtîmala bidestxistina serî, ji ber ku pere maqûl e)
Ji ber vê yekê, nirxa hêvîkirî ev e:
\[ E(X) = np = 10 \times 0.5 = 5 \]
Ev tê vê wateyê ku heke em di demek dirêj de 10 caran pereyek bizivirînin, bi navînî em ê 5 caran serî bistînin.
Cûdahî û Devîasyona Standard
Ji bilî nirxa hêvîkirî, girîng e ku meriv guherîn û devîasyona standard a belavkirina binomial jî fêm bike.
Ji bo belavkirina duqutbî, guherîna \( \sigma^2 \) û devîasyona standard \( \sigma \) wiha ne:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
Cûdahî dipîve ka daneyên çiqas ji nirxa hêvîkirî dûr in. Devîasyona standard koka çargoşe ya guherînê ye û her weha belavbûna daneyan dipîve, lê bi heman yekeyên daneyên orîjînal.
Xelasî
Belavbûna duqatî (binomial) têgeheke bingehîn e di îstatîstîk û îhtimalê de, ku pir caran di gelek sepanên cîhana rastîn de, ji karsaziyê bigire heya zanistên civakî û biyolojiyê, tê dîtin. Nirxa çaverêkirî ya belavkirina duqatî (binomial), ku wekî np tê hesibandin, têgihiştineke girîng dide derbarê hejmara navînî ya serkeftinan di rêze ceribandinên duqatî de. Bi têgihîştina têgehên nirxa çaverêkirî, guherbarî (varyation), û devîasyona standard, em dikarin têgihîştineke zelaltir a taybetmendiyên belavkirina duqatî (binomial diaspora) û ka ew çawa diyardeyên diyarkirî di jiyana rojane de vedibêje, bi dest bixin.
Ev zanîn ne tenê di analîza daneyan û îstatîstîkan de, lê di heman demê de di biryargirtinê de jî ku nirxandina îhtimal û nezelaliyê hewce dike pir bikêr e. Fêmkirina nirxa hêvîkirî û belavkirina dualî dikare ji me re bibe alîkar ku em pêşbîniyên rasttir bikin û biryarên agahdartir bidin.
