Nimûneyên Pirsên ku Li Ser Vektorên Stûn û Vektorên Rêzan Diaxivin
Di matematîkê de, bi taybetî di cebrê xêzikî de, vektor têgeheke bingehîn e ku pir caran di gelek serlêdanan de tê bikar anîn, ji modelkirina fîzîkî bigire heya hesabkirinê. Vektorên stûn û vektorên rêzan du formên temsîlkirina vektor in, her yek bi taybetmendî û karanînên xwe. Ev gotar dê li ser pirsgirêkên mînakî û çareseriyên wan ên ku vektorên stûn û vektorên rêzan tê de hene nîqaş bike.
Pênasîna Vektora Stûn û Vektora Rêzan
Berî ku em bikevin nav pirsên mînakî û nîqaşa wan, em pêşî pênaseyên bingehîn ên vektorên stûn û vektorên rêzan binirxînin.
– Vektorên stûnî vektor in ku di stûnekê de, ango di yek pîvana vertîkal de hatine rêzkirin. Mînak:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{matrîksa p}
\]
– Vektorên rêzan vektor in ku di rêzan de, ango di yek pîvana horizontî de hatine rêzkirin. Mînak:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]
Mînak 1: Zêdekirina Vektorên Stûnî
Pirs:
Du vektorên stûnî yên jêrîn hatine dayîn:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{matrîksa p}
\]
Kombûna her du vektorên stûnî hesab bike.
Çare:
Zêdekirina du vektorên stûnan bi zêdekirina hêmanên wan ên têkildar pêk tê.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \destpêk{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{matrixp} + \begin{matrixp}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
3
\end{matrîksa p}
\]
Ji ber vê yekê, berhevoka \(\mathbf{u}\) û \(\mathbf{v}\) \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) ye.
Nimûneya Pirsa 2: Zêdekirina Vektorên Rêzan
Pirs:
Du vektorên rêzan ên jêrîn hatine dayîn:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
Kombûna vektorên her du rêzan hesab bike.
Çare:
Zêdekirina du vektorên rêzan bi zêdekirina hêmanên têkildar tê kirin.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}
\]
Ji ber vê yekê, berhevoka \(\mathbf{a}\) û \(\mathbf{b}\) \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\) ye.
Mînak 3: Pirbûna Skalar bi Vektorên Stûnî
Pirs:
Vektoreke stûnî \(\mathbf{c}\) û skalarek \(k\) bi dayînê:
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{matrîksa p}, \quad k = 2
\]
Encama pirbûna skalar hesab bike.
Çare:
Pirbûna skalar bi vektoreke stûnî bi pirbûna her hêmaneke vektorê bi skalarekê tê kirin.
\[
k\mathbf{c} = 2 \destpêk{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 caran -3
2 caran 4
2 caran 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8 \\
10
\end{matrîksa p}
\]
Ji ber vê yekê, encama pirbûna skalar \(2\) bi vektora stûnê \(\mathbf{c}\) \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\) ye.
Nimûneya Pirsa 4: Pirbûna Skalar bi Vektorên Rêzan
Pirs:
Vektoreke rêzê \(\mathbf{d}\) û skalarek \(m\) dayîn:
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
Encama pirbûna skalar hesab bike.
Çare:
Pirbûna skalar bi vektoreke rêzan bi pirbûna her hêmaneke vektorê bi skalarekê tê kirin.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Ji ber vê yekê, encama pirbûna skalar \(-3\) bi vektora rêzê \(\mathbf{d}\) \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\) ye.
Mînak 5: Pirbûna Matrîkê (1 caran 3) bi (3 caran 1) (Vektora Rêzan bi Vektora Stûnê)
Pirs:
Vektora rêzê \(\mathbf{e}\) û vektora stûnê \(\mathbf{f}\) tê dayîn:
\[
\mathbf{e} = \destpêk{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \destpêk{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{matrîksa p}
\]
Berhema herdu vektoran hesab bike.
Çare:
Ji bo pêkanîna pirbûna matrîksê, vektora rêzê \(\mathbf{e}\) wekî matrîseke \(1 \times 3\) tê hesibandin, û vektora stûnê \(\mathbf{f}\) wekî matrîseke \(3 \times 1\) tê hesibandin. Encama vê pirbûnê skalarek e, ango berhevoka berhemên hêmanên têkildar:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \destpêk{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \destpêk{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{matrîksa p} = (2 caran 5) + (-1 caran 3) + (4 caran -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Ji ber vê yekê, encama pirbûna vektora rêzê \(\mathbf{e}\) bi vektora stûnê \(\mathbf{f}\) \(-1\) e.
Mînak 6: Pirbûna Matrîkê (3 caran 1) bi (1 caran 3) (Vektora Stûnê bi Vektora Rêzê)
Pirs:
Ji bo vektoreke stûnê \(\mathbf{g}\) û vektoreke rêzê \(\mathbf{h}\) were dayîn:
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
\]
Berhema herdu vektoran hesab bike.
Çare:
Pirbûna matrîksê ya vektoreke stûnê bi vektoreke rêzê matrîkseke (\(3 caran 1\)) çêdike ku bi (\(1 caran 3\)) tê pirkirin ku ev yek matrîkseke \(3 caran 3\) çêdike. Her hêmaneke nû berhema hêmanên wê yên têkildar e:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 û 5 û 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 caran 4 û 1 caran 5 û 1 caran 6
2 caran 4 û 2 caran 5 û 2 caran 6
3 caran 4 û 3 caran 5 û 3 caran 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 û 5 û 6 \\
8 û 10 û 12 \\
12 û 15 û 18
\end{matrîksa p}
\]
Ji ber vê yekê, encama pirbûna vektora stûnê \(\mathbf{g}\) bi vektora rêzê \(\mathbf{h}\) matrîks e:
\[
\begin{pmatrix}
4 û 5 û 6 \\
8 û 10 û 12 \\
12 û 15 û 18
\end{matrîksa p}
\]
Xelasî
Di vê gotarê de, me çend mînak dîtin ku vektorên stûn û rêzan tê de hene. Zêdekirina vektorên stûn û rêzan bi zêdekirina hêmanên wan ên têkildar pêk tê. Pirbûna skalar bi vektorekê re jî bi pirbûna her hêmanê vektorê bi skalarê pêk tê. Di dawiyê de, me fêr bû ka meriv çawa vektorên rêz û stûnan pir dike, û li gorî rêza wan, an skalarek an jî matrîksek çêdike. Serweriya van operasyonên bingehîn ji bo sepanên tevlihevtir ên di cebrê xêzikî û analîza daneyan de girîng e.
