Nimûneyên Pirsên ku Vektorên Du-Alî di Sîstema Koordînatê de nîqaş dikin
Vektor hejmarek e ku hem mezinahî û hem jî rêça wê heye. Vektor bi gelemperî di mijarên cûrbecûr ên matematîk û fîzîkê de têne bikar anîn da ku diyardeyên cûrbecûr temsîl bikin. Di vê gotarê de, em ê li ser mînakên vektorên du-alî di pergala hevrêzan de nîqaş bikin.
Têgehên bingehîn ên Vektoran di Sîstemên Koordînatê de
Vektorek di sîstema koordînasyonên du-alî de dikare wekî \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) were temsîlkirin, ku \(a_1\) pêkhateya x-ê ya vektorê ye û \(a_2\) pêkhateya y-ê ya vektorê ye. Vektor dikare were parçekirin bo du pêkhateyan, ango pêkhateya x û pêkhateya y.
Komkirin û Jêbirina Vektoran
Zêdekirina du vektoran \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) û \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) ev e:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Dema ku kêmkirin ev e:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Pirbûna Skalar
Eger \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) û \(k\) skalarek be, wê demê \(k\vec{A}\) ev e:
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]
Mezinahiya Vektorê
Mezinahî an dirêjahiya vektor \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ev e:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Vektora Yekîneyê
Vektorê yekîneyî ew vektor e ku dirêjahiya wê yek yekîneyî ye. Vektorê yekîneyî yê \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ev e:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \rast)
\]
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Pirsa 1: Komkirin û Jêbirina Vektoran
Du vektor wiha têne dayîn: \(\vec{A} = (3, 4)\) û \(\vec{B} = (1, 2)\). Berhema \(\vec{A} + \vec{B}\) û \(\vec{A} – \vec{B}\) bibîne.
Nîqaş:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
Pirsa 2: Pirbûna Skalar
Dema ku vektor \(\vec{C} = (2, -3)\ were dayîn, \(3\vec{C}\) û \(-2\vec{C}\) hesab bike.
Nîqaş:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
Pirsa 3: Mezinahiya Vektor
Mezinahiya vektorê \(\vec{D} = (5, 12)\) hesab bike.
Nîqaş:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Pirsa 4: Vektorên Yekîneyê
Yekîneya vektorê \(\vec{E} = (4, 3)\) bibîne.
Nîqaş:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \rast)
\]
Pirsa 5: Cih û Dûriya Vektoran
Du xalên di plana koordînatên du-alî de P(2, 3) û Q(5, 7) ne. Vektora pozîsyonê ji xala P heta xala Q û dûrahiya di navbera wan de diyar bikin.
Nîqaş:
Vektora pozîsyonê ji P ber bi Q ve ev e:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
Dûrîya di navbera xalên P û Q de ev e:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Pirsa 6: Encama Berhema Dot
Eger \(\vec{F} = (-3, 4)\) û \(\vec{G} = (2, 1)\) be, berhema xalî ya \(\vec{F} \cdot \vec{G}\) hesab bike.
Nîqaş:
Berhema xalî ya du vektoran ev e:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
Pirsa 7: Goşeya Di Navbera Du Vektoran De
Eger \(\vec{H} = (7, -4)\) û \(\vec{I} = (3, 0)\) be, goşeya di navbera her du vektoran de diyar bike.
Nîqaş:
Ji bo diyarkirina goşeya di navbera du vektoran de, em formula bi kar tînin:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
Pêşî, berhema xalan \(\vec{H} \cdot \vec{I}\) hesab bike:
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
Paşan, mezinahîyên \(\vec{H}\) û \(\vec{I}\) hesab bike:
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Van nirxan têxin nav formulê:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
Ji ber vê yekê, \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).
Pirsa 8: Projeksiyona Vektorî
Ji bo vektorên \(\vec{J} = (2, 1)\) û \(\vec{K} = (-1, 3)\), projeksiyona \(\vec{J}\) li ser \(\vec{K}\) hesab bike.
Nîqaş:
Projeksiyona \(\vec{J}\) li ser \(\vec{K}\) ev e:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \çep( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \rast) \vec{K}
\]
Pêşî, berhema xalan \(\vec{J} \cdot \vec{K}\) hesab bike:
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
Hingê, mezinahiya \(\vec{K}\):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Heta,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Têkeve nav formulê:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
Ev mînakên pirsgirêk û nîqaşan in ku bi vektorên du-alî di pergala hevrêzan de ve girêdayî ne. Têgihîştineke baş a vektoran dikare di gelek serlêdanên matematîk, fîzîk û endezyariyê de bibe alîkar. Pratîkkirina bi mînakên cûrbecûr dikare têgihîştina we ya vê têgehê kûrtir bike, û bihêle ku ew bi bandor di rewşên cûrbecûr de were sepandin.
