Nimûneyên Pirsgirêkên ku Li Ser Zivirîna Matematîkî Diaxivin
Pendahuluan
Zivirandin veguherînek geometrîk e ku pir caran di matematîkê de, bi taybetî jî di geometrîkê de, tê dîtin. Zivirandin zivirandina tiştekî li dora xalek diyarkirî (navenda zivirînê) bi goşeyek diyarkirî di alîyekî saetê an jî dij-saetê de ye. Sepandina têgeha zivirînê di warên wekî grafîkên komputerê, fîzîk û endezyariyê de pir girîng e. Ev gotar dê gelek mînak û nîqaşên li ser zivirînê di matematîkê de vekole.
Têgihîştina Zivirandinê
Zivirandin veguherînek e ku her xalek tiştekî bi zivirandina wê li dora xalek sabît, ku jê re navenda zivirînê tê gotin, bi goşeyek diyarkirî di aliyekî diyarkirî de diguhezîne. Nîşaneya giştî ji bo zivirînek bi goşeyek θ û navendek zivirînê (a, b) dikare wekî R_(a, b)(θ) were nivîsandin.
Ji bo xaleke P(x, y) ku bi θ pileyan hatiye zivirandin û navenda zivirînê li destpêka xalê (0, 0) ye, koordînatên nû yên P' (x', y') piştî zivirînê dê bi karanîna formula jêrîn werin bidestxistin:
– x' = x cos θ – y guneh θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Werin em bi çend mînakên pirsgirêkên zivirînê berdewam bikin, tevî nîqaşên wan.
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Nimûneya Pirsa 1
Pirsyar: Koordînatên nû yên xala A(3, 4) piştî zivirandina wê 90 pile li dijî saetê bi navenda zivirînê li eslê (0, 0) diyar bikin.
Gotûbêj: Bikaranîna formula zivirandinê bi goşeyek 90 pile li dijî saetê:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Ji ber vê yekê, koordînatên nû yên A' piştî zivirandinê (-4, 3) in.
Nimûneya Pirsa 2
Pirsyar: Xala B(2, -1) di aliyê saetê de 180 pile tê zivirandin û navenda zivirînê li eslê xwe (0, 0) dimîne. Koordînatên nû yên xala B piştî zivirînê diyar bikin.
Gotûbêj: Zivirandina 180 pileyan, çi li gorî saetê be çi jî li dijî saetê be, heman encamê dide, ango koordînatên xalê diguherin bo (-x, -y).
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Ji ber vê yekê, koordînatên nû yên B' (-2, 1) in.
Nimûneya Pirsa 3
Pirsyar: Xalek C(-3, 5) 270 pile li dijî saetê tê zivirandin û navenda zivirînê li ser xala destpêkê (0, 0) ye. Xala C piştî zivirînê diyar bike.
Gotûbêj: Zivirîneke 270 pile li dijî saetê wekhevî zivirîneke 90 pile li gorî saetê ye.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Ji ber vê yekê, koordînatên nû yên C' piştî zivirandinê (5, -3) in.
Nimûneya Pirsa 4
Pirsyar: Koordînatên nû yên xala D(5, 5) piştî zivirandina wê 45 pile bi navenda zivirînê li cihê eslê (0, 0) diyar bikin.
Gotûbêj: Bikaranîna formula zivirandinê bi goşeyek 45 pile:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(guneh(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Ji ber vê yekê, koordînatên nû yên D' piştî zivirandinê (0, 5√2) in.
Zivirîna bi Navenda Zivirînê Ne li Orjînalê ye
Zivirandin her tim li dora eslê nayên kirin. Bo nimûne, em dixwazin xalekê bi navenda zivirînê (h, k) bizivirînin. Ji bo vê yekê, divê em koordînatan wiha rast bikin:
1. Xalê wergêrîne wisa ku (h, k) bibe eslê xwe.
2. Formula zivirandinê bi kar bîne.
3. Vegerîne pozîsyona xwe ya eslî.
Nimûneya Pirsa 5
Pirsyar: Xala E(5, 7) 90 pile li dijî saetê tê zivirandin û navenda zivirînê li xala (2, 3) ye. Koordînatên nû yên xala E piştî zivirînê diyar bikin.
Nîqaş:
1. Xala E ya li gorî navenda zivirînê (2, 3) ber bi eslê xwe ve bibin:
– Xala nû E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
٢. Li dora xala nû ٩٠ pileyan li dijî saetê bizivirînin:
– x' = 3 cos(90°) – 4 guneh(90°) = -4
– y' = 3 guneh(90°) + 4 cos(90°) = 3
Ji ber vê yekê, koordînatên piştî zivirandinê (-4, 3) in.
3. Vegerandina pozîsyona eslî li gorî navenda zivirînê (2, 3):
– Xala dawî E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Ji ber vê yekê, koordînatên nû yên xala E piştî zivirandinê (-2, 6) in.
Xelasî
Analîzkirin û têgihîştina zivirandinên matematîkî di gelek serlêdanan de pir girîng e. Bi rêya mînak û nîqaşên li jor, ji xwendevanan tê hêvîkirin ku fêm bikin ka formulên zivirandinê çawa dixebitin û ew çawa dikarin di rewşên cûda de werin sepandin. Ev tetbîqat ne tenê matematîka bingehîn xurt dike, lê di warên din ên ku veguherînên geometrîkî tê de hene de jî bikêr e.
