Nimûneyên Pirsên Li Ser Mezinbûna Eksponsîyonel Nîqaş Dikin
Mezinbûna eksponansiyel di gelek waran de, di nav de aborî, biyolojî, karsazî û fîzîk, têgeheke sereke ye. Di jiyana rojane de, em pir caran rastî rewşên ku mezinbûna eksponansiyel tê de hene tên, wek mezinbûna nifûsa mirovan, kêmbûna nirxên nominal ji ber enflasyonê, belavbûna vîrusan û gelekên din. Ev gotar dê gelek mînakên pirsgirêk û çareseriyên têkildarî mezinbûna eksponansiyel nîqaş bike, da ku alîkariya xwendevanan bike ku vê têgehê çêtir fam bikin.
Têgehên bingehîn ên mezinbûna eksponensiyel
Mezinbûna eksponensiyel wekî mezinbûna ku bi rêjeyek sabît di yekîneya demê de çêdibe tê pênasekirin. Ji hêla matematîkî ve, mezinbûna eksponensiyel dikare bi vê hevkêşeyê were pênasekirin:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Ko:
– \( N(t) \) berhevoka di dema \( t \) de ye.
– \( N_0 \) hejmara destpêkê ye
– \(k \) rêjeya mezinbûnê ye
– \(t \) dem e
– \( e \) hejmara Euler e (nêzîkî 2.718)
Eger nirxa \(k\) erênî be, wê demê mezinbûna eksponansiyel heye. Berevajî vê, eger \(k\) neyînî be, biçûkbûna eksponansiyel heye.
Nimûneya Pirsa 1: Zêdebûna Nifûsê
Soal
Nifûsa destpêkê ya bajarekî 100,000 kes e. Ger nifûsa bajêr bi rêjeya eksponansiyel a 2% di salê de zêde bibe, piştî 10 salan dê nifûsa bajêr çiqas be?
Penyelesaian
Pêşîn, divê em nirxên naskirî destnîşan bikin:
– \( N_0 \) = 100,000
– \( k \) = 2% di salê de = 0.02
– \( t \) = 10 sal
Em ê formula mezinbûna eksponensiyel bikar bînin:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Nirxên naskirî têxin nav formulê:
\[ N(10) = 100,000 \cdot e^{0.02 \cdot 10} \]
\[ N(10) = 100,000 \cdot e^{0.2} \]
Nirxa texmînî ya \(e^{0.2} \) nêzîkî 1.2214 e.
\[ N(10) = 100,000 \cdot 1.2214 \]
\[ N(10) = 122,140 \]
Ji ber vê yekê, nifûsa bajêr piştî 10 salan nêzîkî 122,140 kes e.
-
Nimûneya Pirsa 2: Nirxa Veberhênanê
Soal
Tu 5,000 dolaran didî hesabê ku faîza salane %5 e. Piştî 15 salan teserûfên te dê çiqas bin?
Penyelesaian
Nirxan destnîşan bike:
– \( N_0 \) = 5,000
– \( k \) = 5% di salê de = 0.05
– \( t \) = 15 sal
Bi karanîna formula mezinbûna eksponensiyel:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Nirxên naskirî binivîse:
\[ N(15) = 5,000 \cdot e^{0.05 \cdot 15} \]
\[ N(15) = 5,000 \cdot e^{0.75} \]
Nêzîkbûna \(e^{0.75} \) nêzîkî 2.117 e.
\[ N(15) = 5,000 \cdot 2.117 \]
\[ N(15) = 10,585 \]
Ji ber vê yekê, nirxa teserûfa we piştî 15 salan bi qasî 10,585 dolar e.
-
Mînak 3: Nirxa Kêmkirina Otomobîlan
Soal
Nirxa otomobîleke nû ya bi 30,000 dolarî bi rêjeya %12 di salê de bi awayekî eksponansiyel kêm dibe. Piştî 5 salan dê nirxa otomobîlê çiqas be?
Penyelesaian
Nirxan destnîşan bike:
– \( N_0 \) = 30,000
– \( k \) = -12% di salê de = -0.12
– \( t \) = 5 sal
Bi karanîna formula mezinbûna eksponensiyel:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Nirxên naskirî binivîse:
\[ N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.12 \cdot 5} \]
\[ N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.6} \]
Nêzîkbûna \(e^{-0.6} \) nêzîkî 0.5488 e.
\[ N(5) = 30,000 \cdot 0.5488 \]
\[ N(5) = 16,464 \]
Ji ber vê yekê, nirxa otomobîlê piştî 5 salan bi qasî 16,464 dolarî ye.
-
Nimûneya Pirsa 4: Belavbûna Vîrusan
Soal
Bajarokek ku nifûsa wê di destpêkê de 200 kes e, bi vîrûsekê vegirtî dibe, ku rêjeya wê ya mezinbûnê di rojekê de %15 e. Piştî 7 rojan hejmara giştî ya kesên vegirtî çend e?
Penyelesaian
Nirxan destnîşan bike:
– \( N_0 \) = 200
– \( k \) = 15% di rojê de = 0.15
– \( t \) = 7 roj
Bi karanîna formula mezinbûna eksponensiyel:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Nirxên naskirî binivîse:
\[ N(7) = 200 \cdot e^{0.15 \cdot 7} \]
\[ N(7) = 200 \cdot e^{1.05} \]
Nêzîkbûna \(e^{1.05} \) nêzîkî 2.857 e.
\[ N(7) = 200 \cdot 2.857 \]
\[ N(7) = 571.4 \]
Ji ber vê yekê, hejmara giştî ya kesên ku piştî 7 rojan bi vîrusê ketine dora 571 kesan e.
-
Ev mînakên pirsgirêk û nîqaşên têkildarî mezinbûna eksponansiyel in. Fêmkirina ka meriv çawa pirsgirêkên mezinbûna eksponansiyel çareser dike dikare di cûrbecûr sepanên pratîkî yên cîhana rastîn de pir bikêr be. Bi pratîka têr, ev têgeh dikare bi hêsanî were fêr kirin û li gorî hewcedariyê were sepandin.
