Pirsên Nimûne û Nîqaş li ser Pirbûna Skalar bi Vektoran
Pendahuluan
Di matematîk û fîzîkê de, zêdekirina skalarekê bi vektorekê operasyoneke bingehîn û pir caran tê bikaranîn e. Ev zêdekirin ji bo pêşxistina têgehên tevlihevtir di geometrî, mekanîk û analîza vektorê de girîng e. Armanca vê gotarê ravekirina têgeha zêdekirina skalarekê bi vektorekê ye û mînak û nîqaşan pêşkêş dike da ku têgihîştinê zelal bike.
Fêmkirina Pirbûna Skalar bi Vektoran re
Pirbûna skalarekê bi vektorekê ew operasyon e ku tê de skalarek (hejmareke yekane) bi her pêkhateya vektorekê tê pirkirin. Encama vê operasyonê vektorek nû ye ku heman rêça vektora orîjînal lê bi mezinahiyek ku ji hêla skalarê ve hatiye guhertin. Bi gelemperî, heke me vektorek \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)\) û skalarek \(k\) hebe, wê hingê berhema wan \(k \mathbf{v}\) ev e:
\[
k \mathbf{v} = (k v_1, k v_2, k v_3)
\]
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Pirs 1
Ferz bike ku vektorek (v = (3, -4, 5)) û skalarek (k = 2) heye. Berhema skalar û vektorê hesab bike.
Gotûbêja 1
Bi karanîna pênaseya pirbûna skalar bi vektorekê:
\[
k \mathbf{v} = 2 \cdot (3, -4, 5)
\]
Gavên hesabkirinê wiha ne:
\[
k \mathbf{v} = (2 \cdot 3, 2 \cdot -4, 2 \cdot 5)
\]
\[
k \mathbf{v} = (6, -8, 10)
\]
Ji ber vê yekê, berhema skalar \(2\) li ser vektor \((3, -4, 5)\) \((6, -8, 10)\) ye.
Pirs 2
Eger vektorek \(\mathbf{w} = (-1, 0, 7)\) û skalarek \(k = -3\) hebe, berhema skalar diyar bike.
Gotûbêja 2
Bi heman formula berê bi kar bînin:
\[
k \mathbf{w} = -3 \cdot (-1, 0, 7)
\]
Gavên hesabkirinê wiha ne:
\[
k \mathbf{w} = (-3 \cdot -1, -3 \cdot 0, -3 \cdot 7)
\]
\[
k \mathbf{w} = (3, 0, -21)
\]
Berhema skalar \(-3\) li ser vektor \((-1, 0, 7)\) \((3, 0, -21)\) ye.
Pirs 3
Vektorek heye \(\mathbf{u} = (2, -1, 4)\). Ger vektor bi skalar \(\frac{1}{2}\ were zêdekirin, encama pirbûnê diyar bike.
Gotûbêja 3
Bi karanîna heman formulê:
\[
k \mathbf{u} = \frac{1}{2} \cdot (2, -1, 4)
\]
Gavên hesabkirinê wiha ne:
\[
k \mathbf{u} = \left(\frac{1}{2} \cdot 2, \frac{1}{2} \cdot -1, \frac{1}{2} \cdot 4\right)
\]
\[
k \mathbf{u} = (1, -0.5, 2)
\]
Ji ber vê yekê, berhema skalar \(\frac{1}{2}\) li ser vektor \((2, -1, 4)\) \((1, -0.5, 2)\) ye.
Pirs 4
Vektorek \(\mathbf{a} = (6, 8, -3)\) û skalarek \(k = 0\) hat dayîn. Berhema wan bibîne.
Gotûbêja 4
Bi karanîna formula pirbûna skalar bi vektorekê re:
\[
k \mathbf{a} = 0 \cdot (6, 8, -3)
\]
Gavên hesabkirinê wiha ne:
\[
k \mathbf{a} = (0 \cdot 6, 0 \cdot 8, 0 \cdot -3)
\]
\[
k \mathbf{a} = (0, 0, 0)
\]
Berhema skalar \(0\) li ser vektor \((6, 8, -3)\) \((0, 0, 0)\) ye. Ev nîşan dide ku zêdekirina vektorekê li ser skalar \(0\) dê vektora sifir çêbike.
Pirs 5
Ferz bike ku du vektor \(\mathbf{b} = (7, -2, 3)\) û \(\mathbf{c} = (-5, 4, 6)\) hene. Berhema skalar a \(4\) bi berhevoka her du vektoran diyar bike.
Gotûbêja 5
Gava yekem ew e ku hûn her du vektoran li hev zêde bikin:
\[
\mathbf{b} + \mathbf{c} = (7, -2, 3) + (-5, 4, 6)
\]
Zêdekirina vektoran bi zêdekirina pêkhateyên têkildar pêk tê:
\[
\mathbf{b} + \mathbf{c} = (7 + (-5), -2 + 4, 3 + 6)
\]
\[
\mathbf{b} + \mathbf{c} = (2, 2, 9)
\]
Gava din, encama bi skalar \(4\) pir bikin:
\[
4 (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = 4 \cdot (2, 2, 9)
\]
Gavên hesabkirinê ev in:
\[
4 (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (4 \cdot 2, 4 \cdot 2, 4 \cdot 9)
\]
\[
4 (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (8, 8, 36)
\]
Ji ber vê yekê, berhema skalar a \(4\) û berhevoka her du vektoran \((8, 8, 36)\) ye.
Xelasî
Zêdekirina skalarekê bi vektorekê di gelek warên zanistê de operasyoneke hêsan lê bingehîn e. Bi zêdekirina skalarekê bi her pêkhateya vektorekê, em dikarin bi hêsanî mezinahiya vektorê bêyî ku rêça wê biguherînin biguherînin. Vê gotarê têgeh rave kiriye û mînak û çareserî pêşkêş kiriye da ku zelal bike ka ev operasyon çawa dixebite. Fêmkirina vê operasyona bingehîn dikare fêrbûna têgehên pêşkeftîtir di matematîk û fîzîkê de hêsantir bike.
Hêvî tê kirin ku bi riya vê gotarê û pirsên mînakî, xwendevan karibin têgihîştinek çêtir a pirbûna skalar bi vektoran re hebin, û bikaribin wê di rewş û pirsgirêkên rastîn de bicîh bînin.
