Nimûneya Pirsên Nîqaşê yên Pirbûna Matrîkê
Pirbûna matrîksê têgeheke bingehîn e di cebrê xêzikî de ku pir caran di warên cûrbecûr de wekî fîzîk, grafîkên komputerê û fêrbûna makîneyê tê sepandin. Di vê gotarê de, em ê li ser têgehên bingehîn ên pirbûna matrîksê, "qaîdeya lêzêdekirina bi hêmanan" nîqaş bikin, û her weha çend mînakên pirsgirêkan û çareseriyên wan pêşkêş bikin.
Têgehên bingehîn ên pirbûna matrîksê
Berî ku em li pirsgirêkên mînak binêrin, girîng e ku em qaîdeyên bingehîn ên pirbûna matrîksê fam bikin. Ferz bikin ku du matrîsên me (A) û (B) hene ku tê de:
– Matrîksa \(A\) xwedî mezinahiya \(m \car n\) e.
– Matrîksa \(B\) xwedî mezinahiya \(n \car p\) e.
Ji bo zêdekirina du matrîsan \(A\) û \(B\) divê hejmara stûnên matrîsa \(A\) bi hejmara rêzên matrîsa \(B\) re wekhev be (ango herdu \(n\)). Berhema van matrîsan matrîsek \(C\) bi mezinahiya \(m \car p\) ye ku tê de hêmanên \(C_{ij}\) wiha têne pênasekirin:
\[ C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj} \]
Ev tê vê wateyê ku her hêmanek ji matrîksa encam berhevoka berhemên hêmanên rêza \(i\) ya matrîksa \(A\) bi hêmanên stûna \(j\) ya matrîksa \(B\) ye.
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Pirsa 1: Lêzêdekirina Matrîsên 2×2
Ferz bike ku matrîsên me (A) û (B) wekî jêrîn hene:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 û 2 \\ 3 û 4 \end{pmatrix} \]
\[ B = \begin{pmatrix} 2 û 0 \\ 1 û 3 \end{pmatrix} \]
Matrîksên A û B pir bikin da ku matrîsa C bi dest bixin.
Nîqaş:
Werin em hêmanên matrîksê \(C \) hesab bikin:
\[ C_{11} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4 \]
\[ C_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 = 0 + 6 = 6 \]
\[ C_{21} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 6 + 4 = 10 \]
\[ C_{22} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 = 0 + 12 = 12 \]
Ji ber vê yekê, matrîsa encam (C) ev e:
\[ C = \begin{pmatrix} 4 û 6 \\ 10 û 12 \end{pmatrix} \]
Pirsa 2: Lêzêdekirina Matrîsên 3×3
Ferz bike ku matrîsên me (D) û (E) wekî jêrîn hene:
\[ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ E = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Matrîksên D û E pir bikin da ku matrîsa F bi dest bixin.
Nîqaş:
Werin em hêmanên matrîksê \(F \) hesab bikin:
\[ F_{11} = 1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 3 + 0 + 2 = 5 \]
\[ F_{12} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 1 + 0 + 0 = 1 \]
\[ F_{13} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 2 + 0 + 2 = 4 \]
\[ F_{21} = -1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = -3 + 6 + 1 = 4 \]
\[ F_{22} = -1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -1 + 3 + 0 = 2 \]
\[ F_{23} = -1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -2 + 3 + 1 = 2 \]
\[ F_{31} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 6 + 2 + 0 = 8 \]
\[ F_{32} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2 + 1 + 0 = 3 \]
\[ F_{33} = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 4 + 1 + 0 = 5 \]
Ji ber vê yekê, matrîsa encam \(F \) ev e:
\[ F = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 2 \\ 8 & 3 & 5 \end{pmatrix} \]
Pirsa 3: Pirbûna Matrîksa 2×3 bi Matrîksa 3×2
Ferz bike ku matrîsên me (G) û (H) wekî jêrîn hene:
\[ G = \begin{pmatrix} 1 û 2 û 3 \\ 4 û 5 û 6 \end{pmatrix} \]
\[ H = \begin{pmatrix} 7 û 8 \\ 9 û 10 \\ 11 û 12 \end{pmatrix} \]
Matrîksên (G) û (H) pir bikin da ku matrîsa encam (I) bi dest bixin.
Nîqaş:
Werin em hêmanên matrîksê \(I \) hesab bikin:
\[ I_{11} = 1 \c xal 7 + 2 \c xal 9 + 3 \c xal 11 = 7 + 18 + 33 = 58 \]
\[ I_{12} = 1 \c xal 8 + 2 \c xal 10 + 3 \c xal 12 = 8 + 20 + 36 = 64 \]
\[ I_{21} = 4 \c xal 7 + 5 \c xal 9 + 6 \c xal 11 = 28 + 45 + 66 = 139 \]
\[ I_{22} = 4 \c xal 8 + 5 \c xal 10 + 6 \c xal 12 = 32 + 50 + 72 = 154 \]
Ji ber vê yekê, matrîsa encam \(I \) ev e:
\[ I = \begin{pmatrix} 58 û 64 \\ 139 û 154 \end{pmatrix} \]
Xelasî
Di vê gotarê de, me qaîdeyên bingehîn ên pirbûna matrîksê vegot û sê mînakên pirsgirêkan bi ravekirinan pêşkêş kirin. Pêvajoya hesabkirina pirbûna matrîksê sîstematîk e, û hewceyê baldariyek berfireh li ser pirzêdekerên her hêmana matrîksê û berhevokên wan e. Bi têgihîştin û pratîkkirina pir caran a pirsgirêkên pirbûna matrîksê, em ê vê têgehê çêtir fam bikin û bikaribin wê di warên zanistî yên cûrbecûr de bicîh bînin.
Pirbûna matrîksê ne tenê bingehek girîng e di matematîk û zanista komputerê de, lê di heman demê de di sepanên cîhana rastîn de jî pir bikêr e, wekî analîzkirina daneyan, çêtirkirin û heta algorîtmayên fêrbûna makîneyê. Ji ber vê yekê, têgihîştinek baş a pirbûna matrîksê ji bo her matematîkzan an zanyarê komputerê bingehek girîng e.
