Nimûneyên Pirsên ku Li Ser Fonksiyona Nivîsandinê Diaxivin
Dereceya fonksiyonê têgeheke bingehîn e di hesabkirinê de, ku pir caran di warên cûrbecûr ên zanistê de, wek fîzîk, aborî, biyolojî û endezyariyê de tê bikar anîn. Dereceya fonksiyonê dipîve ka nirxa wê çiqas zû li gorî guhertinên di guhêrbarên wê yên serbixwe de diguhere. Di vê gotarê de, em ê çend mînakên pirsgirêkên têkildarî nivîsandina dericeya fonksiyonê, digel ravekirinan, nîqaş bikin.
Nimûneya Pirsa 1: Dereceya Fonksiyonên Sade
Pirsyar: Derana yekem a fonksiyona \(f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \) bibîne.
Nîqaş:
Ji bo diyarkirina derîvata yekem a fonksiyonekê \(f(x)\), em qaîdeyên bingehîn ên cudakirinê bi kar tînin, ango:
\[
\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}
\]
Ji ber vê yekê, em dikarin derivatîva her termê di fonksiyonê de bi vî rengî hesab bikin:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7)
\]
\[
f'(x) = 3 √ 2x^{2-1} + 5 √ 1x^{1-1} + 0
\]
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
Ji ber vê yekê, derîvata yekem a fonksiyona \(f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \) \(f'(x) = 6x + 5 \) e.
Nimûneya Pirsa 2: Dereceyên Fonksiyonên Trîgonometrîk
Pirsyar: Derana yekem a fonksiyona \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \) bibîne.
Nîqaş:
Em ji bo fonksiyonên trîgonometrîk qaîdeyên derivatîfê yên bingehîn bi kar tînin:
\[
\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
\[
\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)
\]
Wiha:
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) + \frac{d}{dx}(\cos(x))
\]
\[
g'(x) = \cos(x) – \sin(x)
\]
Ji ber vê yekê, derîvata yekem a fonksiyona \(g(x) = \sin(x) + \cos(x) \) \(g'(x) = \cos(x) – \sin(x) \) ye.
Nimûneya Pirsa 3: Dereceya Fonksiyona Pirzêdekirinê
Pirsyar: Derana yekem a fonksiyona \(h(x) = x^2 \sin(x) \) bibîne.
Nîqaş:
Ji bo fonksiyonên ku berhema du fonksiyonan in, em qaîdeya pirbûnê bi kar tînin:
\[
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
Ferz bike ku \( u(x) = x^2 \) û \( v(x) = \sin(x) \). Hingê:
\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
Bi karanîna qaîdeya pirjimarbûnê, em dikarin binivîsin:
\[
h'(x) = [x^2]' \sin(x) + x^2 [\sin(x)]'
\]
\[
h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)
\]
Ji ber vê yekê, derîvata yekem a fonksiyona h(x) = x^2 \sin(x) \) h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \) ye.
Nimûneya Pirsa 4: Dereceya Fonksiyoneke Kompozîsyonê
Pirsyar: Derana yekem a fonksiyona \(k(x) = \sin(x^2) \) bibîne.
Nîqaş:
Ji bo fonksiyonên ku ji du fonksiyonan pêk tên, em qaîdeya zincîrê bi kar tînin:
\[
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]
Bila \( f(u) = \sin(u) \) û \( u = x^2 \) be. Hingê \( f'(u) = \cos(u) \) û \( g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \).
Bi karanîna qaîdeya zincîrê, em dikarin binivîsin:
\[
k'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x
\]
Ji ber vê yekê, derîvata yekem a fonksiyona k(x) = sin(x^2)) k'(x) = 2x cos(x^2) ye.
Nimûneya Pirsa 5: Dereceya Fonksiyonên Rasyonel
Pirsgirêk: Derana yekem a fonksiyona \(m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) bibîne.
Nîqaş:
Ji bo fonksiyonên ku jimara du fonksiyonan in, em qaîdeya jimara wan bi kar tînin:
\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\rast] = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
Ferz bike ku u(x) = 2x) û v(x) = x^2 + 1). Hingê:
\[
u'(x) = 2
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
\]
Bi karanîna qaîdeya qerta kotîentê, em dikarin binivîsin:
\[
m'(x) = \frac{[2x]'(x^2 + 1) – 2x[x^2 + 1]'}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2(x^2 + 1) – 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{-(2x^2 – 2)}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
Ji ber vê yekê, derîvata yekem a fonksiyona \(m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) \(m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \) ye.
Xelasî
Di vê gotarê de, me çend mînakên pirsgirêkên ku derivatîfên fonksiyonan vedihewînin, ji fonksiyonên hêsan, fonksiyonên trîgonometrîk, pirbûn, pêkhatin û fonksiyonên rasyonel, nîqaş kirine. Her mînak karanîna guncaw a qaîdeyên derivatîf, wekî qaîdeya bingehîn, qaîdeya zincîrê, qaîdeya pirbûnê û qaîdeya beşker, nîşan dide. Fêmkirina ka meriv çawa van qaîdeyan bikar tîne ji bo çareserkirina pirsgirêkên hesabkirinê yên tevlihevtir li seranserê dîsîplînên cûda girîng e. Pratîk û perwerdehiya dubare dê ji we re bibe alîkar ku hûn têgihîştin û jêhatîyên xwe di cûdakirina fonksiyonan de xurt bikin.
