Nimûneyên Pirsên Li Ser Zêdekirina Vektoran Bi Pêkhateyan Gotûbêj Dikin
Komkirina vektoran prosedurek bingehîn e di fîzîk û matematîkê de ku ji bo dîtina encama du an bêtir vektoran tê bikar anîn. Nêzîkatiya li gorî pêkhateyan ji bo çareserkirina komkirina vektoran rêbazek bi taybetî bikêrhatî ye, nemaze dema ku meriv bi vektorên di du an sê pîvanan de mijûl dibe. Ev gotar dê têgeha komkirina vektoran li gorî pêkhateyan rave bike û çend mînakên pirsgirêk û çareseriyan peyda bike.
Têgeha Zêdekirina Vektorên Pêkhateyî
Her vektorek di qada du-alî (2D) de dikare were dabeşkirin bo du pêkhateyan: pêkhateyeke x (horizontal) û pêkhateyeke y (vertîkal). Di sê-alî (3D) de, vektor pêkhateyeke din jî heye, pêkhateya z (kûrahî).
Ferz bike ku du vektorên me hene A û B. Pêkhateyên van vektoran dikarin wiha werin îfade kirin:
– Vektor A di 2D de pêkhateyên \(A_x\) û \(A_y\) (an jî di 3D de \(A_z\) hene.
– Vektora B di 2D de pêkhateyên \(B_x\) û \(B_y\) (an jî di 3D de \(B_z\) hene).
Zêdekirina van her du vektoran dê vektorek R ya encamî çêbike ku pêkhateyên jêrîn hene:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
Ji bo vektorên 3D, pêkhateya z jî wiha ye:
\[ R_z = A_z + B_z \]
Piştî hesabkirina her pêkhateya vektora encam, em dikarin modulus (mezinahî) û rêça vektora encam bi karanîna formulê bibînin:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (ji bo 2D)
An jî ji bo 3D:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
Û rêça vektora encam dikare bi goşeya bi eksên koordînatê ve were destnîşankirin.
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Pirs 1
Du vektor di planeke du-alî de hatine dayîn:
– A \(5 \, \text{yekîne}\) li rojhilat e.
– B \(3 \, \text{yekîne}\) li bakur e.
Vektora encam R diyar bike.
Nîqaş
Pêşî, em vektorê vediguherînin pêkhateyên wê yên têkildar.
– Vektor A : \(A = (5, 0)\) ji ber ku tenê pêkhateyeke x heye.
– Vektor B : \(B = (0, 3)\) ji ber ku tenê pêkhateyeke y heye.
Li vir kurteya pêkhateyan e:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
Hingê vektora ku encam dide R ev e:
\[ R = (5, 3) \]
Ji bo hesabkirina dirêjahiya (modulus) vektor R:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \nêzîkî 5.83 \]
Rêça vektor R dikare bi karanîna goşeya θ ya bi eksena x ve were hesabkirin:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Bi vî awayî, dirêjahiya vektora R ya encam nêzîkî 5.83 yekîneyan e û bi eksena x re goşeyek 30.96° çêdike.
Pirs 2
Du vektor di sê pîvanan de hatine dayîn:
– A \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\) e.
– B \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\) e.
Vektora encam R diyar bike.
Nîqaş
Pêşî, em pêkhateyên her vektorê destnîşan dikin:
– Vektor A: \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– Vektor B: \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Li vir kurteya pêkhateyan e:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Hingê vektora ku encam dide R ev e:
\[ R = (4, 6, 3) \]
Ji bo hesabkirina dirêjahiya (modulus) vektor R:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \nêzîkî 7.81 \]
Rêça vektor R li gorî eksenên x, y, û z dikare bi karanîna kosînusê derhêner were hesibandin:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \nêzîkî 0.512 \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \nêzîkî 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \nêzîkî 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \nêzîkî 39.50^\circ \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \nêzîkî 0.384 \]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \nêzîkî 67.64^\circ \]
Bi vî awayî, dirêjahiya vektora R ya encam nêzîkî 7.81 yekîneyan e û rêwerzên wê yên li gorî eksên x, y, û z 59.50°, 39.50°, û 67.64° ne.
Pirs 3
Du vektor hatine dayîn:
– P xwedî mezinahiya 4 yekîneyan e û goşeyek 45° li gorî eksena x-ê ya erênî çêdike.
– Q xwedî mezinahiya 6 yekîneyan e û goşeyek 120° li gorî eksena x-a erênî çêdike.
Vektora encam R diyar bike.
Nîqaş
Pêşî, em vektorê li pêkhateyên x û y parçe dikin:
– Vektor P: (P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} nêzîkî 2.83), (P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} nêzîkî 2.83).
– Vektor Q: \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
Li vir kurteya pêkhateyan e:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Hingê, vektora ku encam dide R ev e:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
Ji bo hesabkirina dirêjahiya (modulus) vektor R:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \nêzîkî 8.03 \]
Rêça vektor R:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \nêzîkî -88.99^\circ \]
Lêbelê, ev goşe li dora eksena x-ya neyînî tê pîvandin, ji ber vê yekê goşeya rastîn di çarçoveya pirsgirêkê de ev e:
\[ 180^\circ – 88.99^\circ \nêzîkî 91.01^\circ \]
Bi vî awayî, dirêjahiya vektora R ya encam nêzîkî 8.03 yekîneyan e û bi eksena x-a erênî re goşeyek 91.01° çêdike.
Ev gotar li ser komkirina vektoran a li gorî pêkhateyan nîqaş kiriye, û çend mînakên pirsgirêk û çareseriyan pêşkêş kiriye. Rêbaza li gorî pêkhateyan di hêsankirina hesaban de û peyda kirina rêyek sîstematîk ji bo çareserkirina pirsgirêkên vektoran di pîvana matematîkî ya fezayê de pir bikêr e.
