Nimûneya Pirsê ya Li Ser Zêdekirina Du Vektoran Bi Bikaranîna Rêbaza Paralelogramê
Zêdekirina vektoran di fîzîk û matematîkê de têgeheke girîng e, ku pir caran ji bo danasîna diyardeyên xwezayî û pirsgirêkên jiyana rojane tê bikar anîn. Ji bo zêdekirina du vektoran çend rêbaz hene, yek ji wan rêbaza paralelogramê ye. Ev rêbaz ne tenê bînbar e, lê di heman demê de dîtbarîkirinek bihêz peyda dike ka du vektor çawa bi hev re têne hev da ku vektorek encam çêbikin. Di vê gotarê de, em ê li çend mînakên zêdekirina vektoran bi karanîna rêbaza paralelogramê, digel çareseriyên wan, binêrin.
Vektor çi ye?
Berî ku em bikevin nav pirsgirêkên mînakî, divê em pênaseya bingehîn a vektorê fêm bikin. Vektor mîqdarek e ku hem mezinahî (dirêjahî) û hem jî rêça wê heye. Nimûneyên klasîk ên vektoran leza, lezdan, hêz û cihguherîn in. Vektor dikare wekî pêkhateyên xwe (i, j, k) di koordînatên Kartezyenî de an jî wekî dirêjahî û rêça wê (goşeya) were temsîl kirin.
Rêbaza Paralelogramê
Rêbaza paralelogramê yek ji rêbazên lêzêdekirina du vektoran e. Di vê rêbazê de, em du vektoran wekî du aliyên paralelogramekê temsîl dikin. Vektora encam xêza paralelogramê ye ku ji xala destpêkê ya her du vektoran dest pê dike. Ji hêla matematîkî ve, heke du vektorên me \(\vec{A}\) û \(\vec{B}\) hebin, encam \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) ye.
Rêbaza gav-bi-gav ji bo karanîna rêbaza paralelogramê wiha ye:
1. Vektora \(\vec{A}\) ji xala destpêkê xêz bike.
2. Ji dawiya vektorê \(\vec{A}\), vektorê \(\vec{B}\) xêz bike.
3. Ji xala destpêkê ya (A) xêzek paralel bi vektora \(\vec{B}\) re bikşîne.
4. Ji dawiya vektorê \(\vec{B}) xêzek paralel bi vektor \(\vec{A}\) re bikşîne.
5. Ji xala destpêkê heta quncikê dijberî xêzek diyagonal xêz bike da ku vektora encam \(\vec{R}\) bi dest bixe.
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Pirs 1
Ferz bike ku du vektorên me \(\vec{A}\) û \(\vec{B}\) hene:
– \(\vec{A}\) xwedî dirêjahiya (mezinahiya) 5 yekîneyan û rêça wê 0° (an jî li ser eksena x-a erênî) ye,
– \(\vec{B}\) dirêjahiya wê 3 yekîne ye û goşeya wê 90° ye (an jî li ser eksena y ya erênî).
Nirxa encam a komkirina van her du vektoran bi karanîna rêbaza paralelogramê çi ye?
Nîqaş:
1. Vektora \(\vec{A}\) li ser eksena x-ên erênî bi dirêjahiya 5 yekîneyan xêz bike.
2. Ji dawiya vektor \(\vec{A}\), vektor \(\vec{B}\) li ser eksena y ya erênî bi dirêjahiya 3 yekîneyan xêz bike.
3. Ji xala destpêkê \(\vec{A}\), xêzek paralel bi \(\vec{B}\) ve bikşîne.
4. Ji dawiya \(\vec{B}\), xêzek paralel bi \(\vec{A}\) ve bikşîne.
5. Encam paralelogramek bi xêzek e ku vektora encam \(\vec{R}\) ye.
Ji ber ku \(\vec{A}\) û \(\vec{B}\) li hev perpendîkular in, em dikarin teorema Pythagorean bikar bînin da ku dirêjahiya vektora encamdar hesab bikin:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \nêzîkî 5.83 \]
Rêça vektora encam dikare bi karanîna trîgonometriyê were hesab kirin. Ger \(\theta\) goşeya di navbera encam û \(\vec{A}\ de be:
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
wiha:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Ji ber vê yekê, vektora encam \(\vec{R}\) xwedî mezinahîyek nêzîkî 5.83 yekîneyan û arasteyek nêzîkî 30.96° ji \(\vec{A}\) ye.
Pirs 2
Du vektor \(\vec{C}\) û \(\vec{D}\) wiha têne dayîn:
– \(\vec{C}\) bi dirêjahiya 4 yekîneyan û goşeya 45°.
– \(\vec{D}\) bi dirêjahiya 6 yekîneyan û arasteya 120°.
Vektora encam \(\vec{R}\) ji komkirina herdu vektoran diyar bike.
Nîqaş:
Ji bo lêzêdekirina du vektorên ku ne perpendîkular in an jî bi şiklên cuda ne, hûn dikarin pêkhateyên Kartezyenî bikar bînin.
1. \(\vec{C}\) û \(\vec{D}\) parçe bike bo pêkhateyên x û y.
Ji bo \(\vec{C}\):
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \nêzîkî 2.83 \]
Ji bo \(\vec{D}\):
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \nêzîkî 5.20 \]
2. Pêkhateyên x û y yên herdu vektoran li hev zêde bikin:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. Mezinahî û rêça vektora encam \(\vec{R}\) hesab bike:
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \nêzîkî 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \approx \tan^{-1}(-47.24) \]
Ji ber ku encam neyînî ye, em 180° lê zêde dikin da ku goşeya di pergala çarçikên rast de bistînin:
\[ \theta \approx \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \approx 271.93^\circ \]
Ji ber vê yekê, vektora encam \(\vec{R}\) xwedî mezinahîyek nêzîkî 8.03 yekîneyan û arasteyek nêzîkî 271.93° ye, an jî em dikarin bibêjin nêzîkî 91.93° ji eksena x-a neyînî ya di çaryeka çaremîn de.
Penutup
Rêbaza paralelogramê rêyek bi bandor û dîtbarî ye ji bo lêzêdekirina du vektoran. Her çend ev rêbaz ji bo vektorên hêsan hêsan xuya bike jî, girîng e ku meriv fêm bike ku ji bo vektorên tevlihevtir, em pir caran hewce ne ku pêkhateyên Kartezyenî û teknîkên cebrî yên pêşkeftîtir bikar bînin da ku encamên rast bi dest bixin. Hêvîdarim ku mînakên jorîn wêneyek zelal peyda dikin ka ev rêbaz çawa dikare di rewşên cûrbecûr de were sepandin.
