Nimûneyên Pirsên ku Li Ser Bikaranîna Entegralan di Fîzîkê de Diaxivin
Bikaranîna entegralan di fîzîkê de têgeheke pir girîng û berfireh e. Bikaranîna entegralan dihêle ku fîzîknas û endezyaran cûrbecûr diyardeyên xwezayî yên tevlihev hesab bikin, çi bi tevger, enerjî, hêz, an aliyên din ve girêdayî bin. Ev gotar dê çend pirsgirêkên mînakî vekole û sepandina entegralan di fîzîkê de nîqaş bike.
1. Hesabkirina Karê bi Hêza Guherbar
Soal
Hêzek ku li gorî pozîsyona \(x\) diguhere bi \(F(x) = 3x^2 \) tê dayîn. Karê ku ji hêla vê hêzê ve tê kirin dema ku tişt ji \(x = 0\) ber bi \(x = 2 \) metreyan ve diçe hesab bike.
Nîqaş
Karê hêzek guherbar entegrala hêzê li ser dûrahiyê ye. Ger hêza \(F(x)\) wekî fonksiyonek ji pozîsyona \(x\) were dayîn, em dikarin kar wiha îfade bikin:
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Di vê rewşê de:
\[ F(x) = 3x^2 \]
\[ a = 0 \, \text{metre} \]
\[ b = 2 \, \text{metre} \]
Hingê karê \(W\) ev e:
\[ W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
Em vê entegralê hesab dikin:
\[
W = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \rast]_{0}^{2}
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \rast)
= 3 \left( \frac{8}{3} – 0 \rast)
= 8 \, \text{Joule}
\]
Ji ber vê yekê, karê hêzê 8 joul e.
2. Hesabkirina Navenda Giraniya Çîpek Homojen
Soal
Çîpek homojen bi dirêjahiya \(L\) li ser eksena x-an ji \(x = 0 \) heta \(x = L \) ye. Cihê navenda giraniya çîpê hesab bike.
Nîqaş
Ji bo çîpek homojen, giranî li seranserê dirêjahiya wê bi awayekî yekreng tê belavkirin. Em dikarin texmîn bikin ku çîp xwedî giraniyek xêzikî ya sabît \(\lambda\) (girseya li ser yekîneya dirêjahiyê) ye.
Navenda giraniyê (\(x_{cm}\)) bi vî awayî tê dayîn:
\[ x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
Ji ber ku girse bi awayekî homojen belav bûye, em dikarin \(dm = \lambda \, dx\), û entegrala sînor ji \(x = 0\) ber bi \(x = L\) ve îfade bikin:
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \lambda \, dx}{\int_{0}^L \lambda \, dx}
\]
Entegrasyon li ser \(\lambda\) sabît e û dikare were betalkirin:
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}}{ \left[ x \right]_{0}^{L} }
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
Ji ber vê yekê, cihê navenda giraniya çîpê li \( \frac{L}{2} \) ye, anku di nîvê çîpê de.
3. Hesabkirina Hêza Elektrostatîk li ser bingeha Qanûna Coulomb
Soal
Du barên \(q_1\) û \(q_2\) li ser eksena x-an li \(x = 0\) û \(x = L\) bi rêzê ve cih digirin. Hêza elektrostatîk a di navbera her du baran de hesab bikin.
Nîqaş
Qanûna Coulomb dibêje ku hêza di navbera du barên xalî de rasterast bi berhema baran re rêjeyî ye û berevajî bi çargoşeya dûrahiya di navbera wan de rêjeyî ye:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Dîmana:
– \(k_e\) sabita Coulomb e \((8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2)\)
– \(r\) dûrahiya di navbera bargiraniyan de ye
Di vê rewşê de, \(q_1\) û \(q_2\) li \(x = 0\) û \(x = L\) ne, hingê dûrahiya \(r = L\) ye.
Hêza elektrostatîk ev e:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
Ev çareseriyek gelemperî ye ji bo hesabkirina hêza elektrostatîk di navbera du barkên xalî yên ku di dûriyek diyarkirî de hatine danîn.
4. Hesabkirina Herikîna Magnetîk
Soal
Çembereke têlî ya dorhêlî ya bi nîvîsa \(r\) di nav zeviyeke manyetîk a yekreng \(B\) de tê danîn, ku perpendîkular li ser rûbera çemberê ye. Herikîna manyetîk a di nav çemberê re hesab bike.
Nîqaş
Herikîna manyetîk (\(\Phi_B\)) ku di nav deverek \(A\) di zeviyek manyetîk \(B\) de derbas dibe, bi vî awayî tê dayîn:
\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]
Ji ber ku qada magnetîkî \(B\) yekreng e û li gorî rûbera xelekê perpendîkular e, entegrala sade wiha dibe:
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
Li ku derê rûbera \(A\) ya çemberê bi radius \(r\) ev e:
\[ A = \pi r^2 \]
Hingê herikîna magnetîkî ya di nav xelekê re derbas dibe:
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
Ji ber vê yekê, herikîna magnetîkî ya di nav xelekê re \(B \pi r^2 \) ye.
Xelasî
Bikaranîna entegralan di fîzîkê de neçar e dema ku em neçar in agahiyên têkildarî diyardeyên xwezayî yên tevlihev hesab bikin. Ji hesabkirina karê ku ji hêla hêzek guhêrbar ve tê kirin bigire heya destnîşankirina navenda giraniya tiştekî, hesabkirina hêzên elektrostatîk li gorî qanûna Coulomb, bigire heya hesabkirina herikîna magnetîkî bi rêya çembera têlê di zeviyek magnetîkî de, hemî ji bo çareserkirina pirsgirêkan li ser entegralan disekinin. Têgihîştineke kûr a ka entegralan çawa di çarçoveyên cûrbecûr ên fîzîkê de dixebitin ne tenê çareserkirina pirsgirêkan hêsan dike, lê di heman demê de têgihîştinên kûrtir li ser mekanîka gerdûnê di asta molekulî û asta galaksiyê de jî peyda dike.
