Nimûneyên Pirsên ku Li Ser Bikaranîna Rêjeyên Trîgonometrîk Nîqaş Dikin
Trîgonometrî şaxek ji matematîkê ye ku têkiliyên di navbera alî û goşeyên sêgoşeyan de lêkolîn dike. Têgihîştina trîgonometrîyê pir girîng e ji ber ku ew pir caran di warên cûrbecûr de tê bikar anîn, di nav de mîmarî, endezyarî, astronomî û tewra krîptografî. Ev gotar dê çend mînakên pirsgirêkan nîqaş bike û wan di çarçoveya karanîna rêjeyên trîgonometrîk de nîqaş bike.
Têgehên bingehîn ên trigonometriyê
Berî ku em bikevin nav pirsgirêkên mînakî, em hin têgehên bingehîn ên trîgonometrîyê binirxînin. Di sêgoşeyek rast de, sê fonksiyonên trîgonometrîkî yên sereke hene ku pir caran têne bikar anîn: sînus, kosînus û tangent.
- Sînus (sin) a goşeyekê rêjeya dirêjahiya aliyê li hember goşeyê bi dirêjahiya hîpotenûzê re ye.
\[
\sin \theta = \frac{\text{aliyê pêş}}{\text{hîpotenûz}}
\]
- Kosînus (cos) ya goşeyekê rêjeya dirêjahiya aliyê li kêleka goşeyê bi dirêjahiya hîpotenûzê re ye.
\[
\cos \theta = \frac{\text{aliyê cîran}}{\text{hîpotenûz}}
\]
- Tanjansa (tangensa) goşeyekê rêjeya dirêjahiya aliyê li hember goşeyê û dirêjahiya aliyê li kêleka goşeyê ye.
\[
\tan \theta = \frac{\text{aliyê pêş}}{\text{aliyê alî}}
\]
Nimûneya Pirsa 1: Hesabkirina Bilindahiya Bircê
Pirsyar: Çavdêrek 50 metre dûrî bircê radiweste û goşeya bilindahiya serê bircê dipîve heta ku 30 pile be. Bilindahiya bircê diyar bike.
Çareserî: Ji bo çareserkirina vê pirsgirêkê, em dikarin fonksiyona tangentê di trîgonometrîyê de bikar bînin. Ji ber ku em goşeya bilindahiyê û dûrahiya horizontî ya ji çavdêr heta bircê dizanin, em dikarin binivîsin:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{bilindahiya bircê}}{\text{dûrahiya horizontî}}
\]
Nirxên zanîn li şûna wan biguherin:
\[
\tan 30^\circ = \frac{h}{50}
\]
Tê zanîn ku \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), ji ber vê yekê:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
Hingê bilindahiya bircê, \(h\), dikare bi zêdekirina her du aliyên hevkêşeyê bi 50 were dîtin:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \nêzîkî 28.87 \, \text{metre}
\]
Bilindahiya bircê nêzîkî 28.87 metre ye.
Nimûneya Pirsa 2: Diyarkirina Dûriyê Bi Bikaranîna Kosînusê
Pirsyar: Keştiyek 10 km ber bi rojhilat ve diçe, paşê 60 pileyan ber bi bakur ve diçe û 15 km diçe. Dûrahiya ji xala destpêkê heta keştiyê diyar bike.
Gotûbêj: Ji bo çareserkirina vê pirsgirêkê, em dikarin qaîdeya kosînûsê di trîgonometrîyê de bikar bînin. Ger em rêwîtiya keştiyê di pergala koordînatê de xêz bikin, em sêgoşeyek bi aliyên 10 km û 15 km û goşeyek 60 pile dibînin. Em dikarin qaîdeya kosînûsê bikar bînin da ku dûrahiya di navbera xala destpêkê ya keştiyê û pozîsyona wê ya dawî de bibînin.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Dîmana:
– \( a = 10 \)
– \( b = 15 \)
– ( C = 60^ circ)
Nirxên zanîn li şûna wan biguherin:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \cos 60^\circ
\]
Em dizanin ku \(\cos 60^\circ = 0.5\), wê demê:
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 = 10 = 15 = 0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = \sqrt{175} \nêzîkî 13.23 \, \text{km}
\]
Ji ber vê yekê dûrahiya ji xala destpêkê heta keştîyê bi qasî 13.23 km ye.
Nimûneya Pirsa 3: Bikaranîna Sînusê ji bo Diyarkirina Aliyên Sêgoşeyekê
Pirsyar: Di sêgoşeyekê de, du alîyên wê 7 cm û 10 cm ne, û goşeyek di navbera wan de 45 pile ye. Dirêjahiya alîyê sêyem ê sêgoşeyê hesab bike.
Gotûbêj: Em dikarin qanûna sînusan ji bo çareserkirina vê pirsgirêkê bikar bînin. Di qanûna sînusan de, ji bo sêgoşeyek bi aliyên \(a\), \(b\), û \(c\) û goşeya \(C\) di navbera aliyên \(a\) û \(b\ de:
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]
Lêbelê, di vê rewşê de, em dikarin rasterast qanûna kosînûsan bikar bînin da ku tiştan hêsantir bikin. Qanûna kosînûsan dibêje:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Dîmana:
– \( a = 7 \)
– \( b = 10 \)
– ( C = 45^ circ)
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), da ku:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70\sqrt{2}
\]
\[
c^2 = 149 – 70\sqrt{2}
\]
Hesabkirina nirxa \(c \):
\[
c \nêzîkî \sqrt{149 – 70\sqrt{2}} \nêzîkî 5.97 \, \text{cm}
\]
Ji ber vê yekê, dirêjahiya aliyê sêyemîn ê sêgoşeyê nêzîkî 5.97 cm ye.
Xelasî
Trîgonometrî amrazek pir bikêrhatî ye ji bo çareserkirina cûrbecûr pirsgirêkên têkildarî sêgoşe û goşeyan. Bi têgihîştineke baş a sînus, kosînus, tangent û qanûnên trîgonometrîyê, em dikarin gelek pirsgirêkên pratîkî çareser bikin. Ev gotar çend mînakên karanîna rêjeyên trîgonometrîk nîqaş dike, ku em hêvî dikin ku dê alîkariya xwendevanan bike ku têgihîştina wan bêtir pêşve bibin.
