Nimûneyek pirsek nîqaşê li ser îhtîmala bûyerên pêkhatî yên bi şert û mercên serbixwe
Pendahuluan
Îhtimal şaxek ji matematîkê ye ku îhtimala çêbûna bûyerekê lêkolîn dike. Yek ji têgehên bingehîn ên di teoriya îhtimalê de bûyerên pêkhatî ne, ku dikarin wekî serbixwe an jî şertî werin dabeş kirin. Ev gotar dê van têgehan bi rêya pirsgirêkên mînak û nîqaşan bi kûrahî vekole.
Bûyerên Tevlihev
Bûyereke pêkhatî tevlîheviyeke du an zêdetir bûyeran e ku di cîhek nimûneyê de diqewimin. Du celeb bûyerên pêkhatî hene: bûyerên ku ji hev cuda ne û bûyerên şertî.
1. Bûyerên Serbixwe: Du bûyer wekî serbixwe têne binavkirin ger serkeftin an têkçûna bûyerekê bandorê li ya din neke. Bo nimûne, encama avêtina pereyek û avêtina zarekê.
2. Bûyerên Mercî: Bûyerên mercdar wê demê çêdibin ku serkeftin an têkçûna bûyerekê bandorê li ser îhtîmala çêbûna bûyerek din dike. Bo nimûne, îhtîmala ku kesek nexweşiyekê bi dest bixe ger meyla genetîkî ya wî nexweşiyê hebe.
Îhtîmala Bûyerên Serbixwe
Formula ji bo hesabkirina îhtîmala du bûyerên serbixwe A û B ev e:
\[ P(A \cap B) = P(A) \car P(B) \]
Dîmana:
– \(P(A \cap B)\) îhtîmala çêbûna bûyerên A û B di heman demê de ye.
– \(P(A)\) îhtîmala çêbûna bûyera A ye.
– \(P(B)\) îhtîmala çêbûna bûyera B ye.
Nimûneyên Pirs û Gotûbêjê: Bûyerên Serbixwe yên Hevdu
Pirsa 1: Pereyek tê avêtin û zarek şeşalî tê avêtin. Îhtîmala ku serî li ser pereyê û 4 li ser zarê derkevin diyar bike.
Gotûbêj:
– Îhtîmala xuyabûna wêneyekî li ser pereyekê: \( P(G) = \frac{1}{2} \)
– Îhtîmala bidestxistina hejmara 4 li ser zarê: \( P(4) = \frac{1}{6} \)
Ji ber ku pere û qerm du bûyerên serbixwe ne, îhtîmala ku herdu jî di heman demê de çêbibin ev e:
\[ P(G ≈ 4) = P(G) ≈ caran P(4) = \frac{1}{2} ≈ caran \frac{1}{6} = \frac{1}{12} ]
Ji ber vê yekê, îhtîmala ku wêneyek li ser pere û 4 li ser zarê xuya bibe \( \frac{1}{12} \) e.
Îhtîmala Mercî ya Bûyeran
Îhtîmala şertî ya du bûyerên A û B îhtîmala çêbûna A ye ji ber ku B çêbûye. Formula ji bo hesabkirina îhtîmala şertî wiha tê nîşandan:
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
Dîmana:
– \( P(A|B) \) îhtîmala çêbûna bûyera A ye bi şertê ku bûyera B berê çêbûbe.
– P(A \cap B) \) îhtîmala çêbûna bûyerên A û B di heman demê de ye.
– \( P(B) \) îhtîmala çêbûna bûyera B ye.
Nimûneyên Pirs û Gotûbêjê: Bûyerên Mercî
Pirsa 2: Ji qutiyekê ku 3 topên sor û 2 topên şîn tê de ne, du top bi tesadufî yek bi yek bêyî ku werin guhertin têne kişandin. Îhtîmala ku topa duyemîn a ku tê kişandin sor be bibîne ger topa yekem jî sor be.
Gotûbêj:
Bo nimûne:
– A bûyera ku topa yekem sor e ye.
– B ew bûyer e ku topa duyem sor e.
Em li \( P(B|A) \) digerin. Pêşî, em \(P(A)\) û \(P(A \cap B)\ hesab dikin:
Hejmara giştî ya topan = 5 (3 sor û 2 şîn).
Derfeta yekem a topa sor:
\[
P(A) = \frac{3}{5}
\]
Piştî kişandina yekem topa sor, hejmara topên sor ên mayî dibe 2 û hejmara giştî ya topan dibe 4.
Ihtimala ku piştî kişandina yekem topa sor, topa duyemîn sor be:
\[
P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
Ji ber vê yekê, îhtîmala ku topa duyem sor be heke topa yekem jî sor be \( \frac{1}{2} \) ye.
Pirsên Nimûneyên Têkelkirinê
Ji bo kûrkirina têgihîştina xwe, em dikarin bûyerên serbixwe û yên şertî yên pêkhatî di yek pirsê de bi hev re bikin yek.
Pirsa 3: Kîsikek 5 topên sor û 3 topên şîn dihewîne. Du top bi awayekî rasthatî bêyî ku werin guhertin têne kişandin. Îhtîmala ku topa yekem sor û topa duyem şîn be bibîne.
Gotûbêj:
Em heman nîşankirinê wekî berê bi kar tînin:
– A bûyera ku topa yekem sor e ye.
– B ew bûyer e ku topa duyem şîn dibe.
Pêşî, em îhtîmala her bûyerê li pey hev hesab dikin.
Îhtîmala ku topa yekem sor be:
\[
P(A) = \frac{5}{8}
\]
Eger topa yekem sor be, hejmara topên sor ên mayî = 4 e, û hejmara giştî ya topên mayî = 7 e.
Îhtîmala ku topa duyemîn piştî sorbûna topa yekem şîn be:
\[
P(B|A) = \frac{3}{7}
\]
Ji ber vê yekê, îhtîmala ku goga yekem sor be û goga duyem şîn be, berhema van her du îhtîmalên şertî ye:
\[
P(A \cap B) = P(A) \car P(B|A) = \frac{5}{8} \car \frac{3}{7} = \frac{15}{56}
\]
Ji ber vê yekê, îhtîmala ku topa yekem sor be û topa duyem şîn be \( \frac{15}{56} \) ye.
Xelasî
Di teoriya îhtimalê de, têgihîştina cudahiya di navbera bûyerên serbixwe û şertî de ji bo çareserkirina pirsgirêkên ku bûyerên tevlihev dihewînin pir girîng e. Bi rêya pirsgirêkên mînakî, em fêr dibin ka meriv çawa îhtimalên senaryoyên cihêreng ên ku van her du têgehan dihewînin hesab dike. Têgihîştineke baş a van têgehan dikare di rewşên cîhana rastîn de wekî rêveberiya rîskê, lîstik û lêkolînên zanistî di biryardanê de bibe alîkar.
Bikaranîna matematîkê di jiyana rojane de nîşan dide ku ev têgihîştin çiqas ji bo gelek aliyên jiyana mirovan, ji yên herî hêsan bigire heya yên herî tevlihev, girîng e. Bi pratîkkirin û serweriya berdewam a van têgehên bingehîn, jêhatîyên me di analîza îhtimalê de dê tûj bibin.
