Nimûneya Pirsên Gotûbêjê yên Operasyona Vektorê
Operasyonên vektorî têgeheke bingehîn in di matematîkê de ku pir caran di warên cûrbecûr ên lêkolînê de, wek fîzîk, endezyarî û zanista komputerê de xuya dibin. Di vê gotarê de, em ê çend mînakên operasyonên vektorî û çareseriyên wan nîqaş bikin da ku têgihîştinek kûrtir û berbiçavtir peyda bikin. Ev mînak dê operasyonên bingehîn ên wekî komkirin û jêbirina vektoran, û her weha operasyonên pêşkeftîtir ên wekî pirbûna skalar û pirbûna vektoriya xaçerêyî veşêrin.
1. Komkirin û Jêbirina Vektoran
Nimûneya Pirsa 1
Du vektorên A û B di forma pêkhateyan de hatine dayîn:
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Encama komkirin û jêbirina her du vektoran hesab bike.
Nîqaş
Ji bo lêzêdekirina vektoran, em her pêkhateya têkildar a her du vektoran lê zêde dikin.
\[ \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 3 + 4 \\ -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Ji bo derxistina vektoran, em her pêkhateya têkildar a her du vektoran derdixin.
\[ \mathbf{A} – \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – (-1) \\ 3 – 4 \\ -1 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]
2. Pirbûna Skalar bi Vektorê
Nimûneya Pirsa 2
Vektorek C û skalarek k tê dayîn:
\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ k = 4 \]
Berhema skalar a vektor C bi skalar k hesab bike.
Nîqaş
Pirbûna skalarekê li ser vektorekê bi pirbûna her pêkhateya vektorê li ser skalarê tê kirin.
\[ k \mathbf{C} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix} \]
3. Berhema Xalan
Nimûneya Pirsa 3
Du vektorên D û E hatine dayîn:
\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{E} = \destpêk{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]
Berhema xalî ya her du vektoran hesab bike.
Nîqaş
Berhema xalî ya du vektoran bi komkirina berhemên pêkhateyên wan ên beramber tê bidestxistin.
\[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 – 4 = -1 \]
4. Berhema Hevbeş
Nimûneya Pirsa 4
Du vektorên F û G hatine dayîn:
\[ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Berhema xaçerêyî ya her du vektoran hesab bike.
Nîqaş
Berhema xaçerêyî ya du vektoran di fezaya sê-alî de bi karanîna diyarkerê matrîksa ku ji hêla wan vektoran ve hatî çêkirin tê bidestxistin. Berhema xaçerêyî bi formula tê dayîn:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \destpêk{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
Ev dikare bi vî rengî were hesab kirin:
\[
\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \mathbf{i} \destpêka{vmatrix} 3 û 4 \\ -1 û 2 \end{vmatrix} – \mathbf{j} \destpêk{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 û 2 \end{vmatrix} 3 & 4 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
\]
Hesabkirina diyarkerê her jêr-matrîksê:
\[
= \mathbf{i} (3 \cdot 2 – 4 \cdot -1) – \mathbf{j} (2 \cdot 2 – 4 \cdot 1) + \mathbf{k} (2 \cdot -1 – 3 \cdot 1)
\]
\[
= \mathbf{i} (6 + 4) – \mathbf{j} (4 – 4) + \mathbf{k} (-2 – 3)
\]
\[
= \mathbf{i} (10) – \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (-5)
\]
\[
= \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}
\]
Ji ber vê yekê, berhema xaçerêyî ya F û G ev e:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \]
5. Diyarkirina Goşeya Di Navbera Du Vektoran De
Nimûneya Pirsa 5
Du vektorên H û I hatine dayîn:
\[ \mathbf{H} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Goşeya di navbera her du vektoran de diyar bike.
Nîqaş
Goşeya \(\theta\) ya di navbera du vektoran de dikare bi karanîna têkiliya di navbera berhema xalî û mezinahîyên her du vektoran de were dîtin:
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = \| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \| \cos \theta \]
Pêşî, berhema xalan \( \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} \) hesab bike:
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = 6 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = 6 + 8 – 6 = 8 \]
Piştre, mezinahiya her du vektoran hesab bike:
\[ \| \mathbf{H} \| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]
\[ \| \mathbf{I} \| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]
Piştre, van nirxan li formula goşeyê biguherînin:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{H} \cdot \mathbf{I}}{\| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \|} = \frac{8}{7\sqrt{21}} \]
\[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{8}{7\sqrt{21}} \right) \]
Wekî encamek dawî, em dikarin hesabkerê bikar bînin da ku nirxa goşeyê bibînin:
\[ \theta \nêzîkî 73,4^\circ \]
Xelasî
Têgeha operasyonên vektorî di matematîk û zanistê de pir girîng e. Ev gotar li ser çend mînakên pirsgirêkan û çareseriyên wan nîqaş dike, ji komkirin û jêkirina vektoran, pirbûna skalar, berhema xalan, berhema xaçerêyî, û diyarkirina goşeya di navbera du vektoran de. Bi xebata li ser van mînakan, em hêvî dikin ku têgihîştina we ya operasyonên vektorî baştir bikin û ji we re bibin alîkar ku hûn pirsgirêkên têkildarî vektoran di çarçoveyên cûrbecûr de çareser bikin.
