Nimûneya Pirsên Gotûbêjê yên Rêbaza Kêmtirîn Çargoşeyan
Rêbaza Kêmtirîn Çargoşeyan (LEM) rêbazeke îstatîstîkî ye ku ji bo dîtina xeta herî baş a ku bi bandortirîn awayî daneyan pêşbînî dike tê bikar anîn. Ev rêbaz pir caran di analîza regresyona xêzik de tê bikar anîn da ku têkiliya di navbera guherbarên serbixwe û girêdayî de were tespît kirin. Ev gotar dê têgehên bingehîn ên rêbaza kêmtirîn çargoşeyan, digel mînakan û ravekirinên gav-bi-gav ji bo têgihîştineke kûrtir a ka ev rêbaz çawa dixebite, vehewîne.
Têgehên bingehîn ên rêbaza kêmtirîn çargoşeyan
Armanca rêbaza kêmtirîn çargoşeyan ew e ku berhevoka çargoşeyên cudahiyên di navbera nirxên çavdêrîkirî û nirxên ku ji hêla modela regresyonê ve hatine pêşbînîkirin kêm bike. Hevkêşeya xêzeke regresyona xêzikî ya hêsan dikare wiha were nivîsandin:
\[ y = a + bx \]
Ko:
– \( y \) guhêrbarê girêdayî ye,
– \( x \) guhêrbarê serbixwe ye,
– \(a \) qutkirina xalê ye (nirxa \(y \) dema \(x = 0 \)),
– \( b \) meyldariya xêzê ye (meyl, an jî katsayiya regresyonê).
Rêbaza kêmtirîn çargoşeyan parametreyên \(a\) û \(b\) yên ku fonksiyona jêrîn kêm dikin texmîn dike:
\[ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2 \]
Li cihê ku SSE Kombûna Çewtiyên Çargoşe ye, \( y_i \) nirxa rastîn e, û \( \hat{y_i} = a + bx_i \) nirxa pêşbînîkirî ye.
Gavên Rêbaza Kêmtirîn Çargoşeyan
Ji bo zelalkirina têgehê, em ê pirsgirêkek mînakî çareser bikin ku tê de karanîna rêbaza kêmtirîn çargoşeyan heye.
Nimûneya pirsgirêkan
Bi daneyên jêrîn:
| x (Demjimêrên xwendinê) | y (Puana azmûnê) |
|——————–|——————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
Xeta regresyona xêzikî ya ku herî baş li gorî daneyan e diyar bike.
Nîqaş
1. Hesabkirina Navînîya \( \bar{x} \) û \( \bar{y} \)
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. Hesabkirina Parametreyê (b) (Şêl)
Parametreya \(b\) bi vî awayî tê hesabkirin:
\[
b = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum (x_i – \bar{x})^2}
\]
Hesabkirina her pêkhateyê:
\[
\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
Heta:
\[
b = \frac{96}{40} = 2.4
\]
3. Hesabkirina Parametreya \(a \) (Qutkirin)
Bi karanîna navînîya \( \bar{x} \) û \( \bar{y} \):
\[
a = \bar{y} – b\bar{x} = 93 – 2.4 \times 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. Nivîsandina Hevkêşeya Xeta Regresyonî
Bi parametreyên hatine dîtin, em dikarin hevkêşeya xeta regresyonê binivîsin:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
Şîrovekirin û Verastkirin
Ji bo ku em piştrast bibin ku ev xeta regresyonê li hev tê, em dikarin nirxa y-ya pêşbînîkirî (\(\hat{y}\)) ji bo her x-ê di daneyên destpêkê de hesab bikin, û her weha Kombûna Çewtiyên Çargoşeyî (SSE) hesab bikin da ku rastbûna pêşbîniyê piştrast bikin.
| x | y | \(\hat{y}\) | \((y – \hat{y})^2\) |
|—|—-|————|———————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2= 0.16|
SSE:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
Bi SSE-yek nisbeten piçûk, em dikarin bigihîjin wê encamê ku xeta regresyonê ya ku ji hêla rêbaza kêmtirîn çargoşeyan ve hatî hilberandin ji bo van daneyan guncanek baş e.
Xelasî
Rêbaza Kêmtirîn Çargoşeyan amûrek analîza îstatîstîkî ya bihêz e ji bo destnîşankirina xeta herî guncaw ji bo komek daneyan, û kêmkirina xeletiya pêşbînîkirinê li gorî çargoşeya devîasyonan. Bi karanîna gavên hesabkirina navînî, texmînkirina meyl û qutbûnê, û nivîsandin û verastkirina hevkêşeya xeta regresyonê, em dikarin nirxa guhêrbarê girêdayî ji guhêrbarên serbixwe bi rastî pêşbînî bikin.
Têgihîştineke baş a vê rêbazê di warên wekî aborî, biyoîstatîstîk, endezyarî û zanistên civakî de ku analîza regresyonê pir caran tê sepandin pir bikêrhatî ye. Ev gotar, bi mînakên berbiçav, girîngî û bikêrhatina vê rêbazê di analîza daneyan de nîşan dide.
