Nimûneyên Pirs û Gotûbêjên li ser Têkiliya Momentên Berhemê
Korrelasyona Berhem-Moment, ku wekî Korrelasyona Pearson jî tê zanîn, rêbazek îstatîstîkî ye ku ji bo pîvandina hêz û rêça têkiliyek xêzikî di navbera du guherbaran de tê bikar anîn. Ev rêbaz di warên cûrbecûr de kêrhatî ye, ji lêkolîna akademîk û analîza karsaziyê bigire heya nirxandina ceribandinên di zanistên xwezayî de. Ev gotar dê li ser çend pirsgirêkên mînak û çareseriyên wan ji bo hesabkirina Korrelasyona Berhem-Moment nîqaş bike.
Pendahuluan
Berî ku em bikevin nav pirsên mînakî, baş e ku em têgeha bingehîn a Korrelasyona Momenta Berhemê fêm bikin. Formula giştî ya ku ji bo hesabkirina katsayiya korelasyona Pearson (\(r\)) tê bikar anîn ev e:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Dîmana:
– \(n \) hejmara cotên daneyan e.
– \( \sum{XY} \) berhevoka berhemên \(X \) û \(Y \) ye.
– \( \sum{X} \) berhevoka guhêrbarên \(X \) ye.
– \( \sum{Y} \) berhevoka guhêrbarên \(Y \) ye.
– \( \sum{X^2} \) berhevoka çargoşeyên guhêrbar \(X \) ye.
– \( \sum{Y^2} \) berhevoka çargoşeyên guhêrbar \(Y \) ye.
Koefîsyenta koralasyona Pearson (\(r\)) her tim di navbera -1 û 1 de ye. Koralasyoneke erênî nîşan dide ku her du guherbar di heman alî de diçin, lê koralasyoneke neyînî nîşan dide ku her ku guherbarek zêde dibe, ya din kêm dibe. Ger \(r = 0\), wê demê di navbera her du guherbaran de koralasyoneke xêzik tune ye.
Nimûneya Pirsa 1
Jimare
Daneyên puanên îmtîhana matematîk û fîzîkê yên 5 xwendekaran wiha ne:
| Xwendekar | Rîyaze (X) | Fîzîk (Y) |
|——-|——————-|————--|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Gavên Çareserkirinê
1. Hesabkirina Pêkhateyên Girîng:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Têkeve nav formulê:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Hesabkirina Encaman:
– Jimarker: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
- Navdêr:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \nêzîkî \sqrt{976856} \nêzîkî 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \nêzîkî 0.633 \]
Ji ber vê yekê, katsayiya koralasyona Pearson di navbera puanên testên matematîk û fîzîkê de 0.633 e, ku nîşan dide ku di navbera her du guherbaran de koralasyonek erênî ya nerm heye.
Nimûneya Pirsa 2
Jimare
Agahiyên li jêr li ser nirxa firotanê û lêçûnên reklamê ji 6 mehan li şîrketekê ne:
| Meh | Reklam (X) | Firotin (Y) |
|——-|————–|———————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Gavên Çareserkirinê
1. Hesabkirina Pêkhateyên Girîng:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Têkeve nav formulê:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Hesabkirina Encaman:
– Jimarker: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
- Navdêr:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \nêzîkî \sqrt{9343200000000} \nêzîkî 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \nêzîkî 0.981 \]
Ji ber vê yekê, katsayiya koralasyona Pearson di navbera lêçûnên reklamê û nirxa firotanê de 0.981 e, ku nîşan dide ku koralasyonek erênî ya pir xurt di navbera her du guherbaran de heye.
Xelasî
Koefîsyenta koralasyona Pearson (\(r\)) amrazek pir bikêrhatî ye ji bo têgihîştina têkiliya xêzikî ya di navbera du guherbaran de. Di mînakên hatine dayîn de, em dibînin ka meriv çawa nirxa \(r\) hesab dike û wê şîrove dike. Koralasyonek bilindtir (nêzîkî 1 an -1) têkiliyek xurttir nîşan dide, lê koralasyonek nizmtir (nêzîkî 0) têkiliyek qelstir nîşan dide. Girîng e ku were zanîn ku koralasyon nayê wê wateyê ku sedembûn heye; ew tenê nîşan dide ku têkiliyek di navbera her du guherbaran de heye.
