Nimûneya Pirsên Gotûbêjê yên Têkel
Têkelkirin di teoriya îhtimalê û îstatîstîkê de têgeheke girîng in, ku dihêle em bêyî ku rêza wan were berçavgirtin, hejmara awayên hilbijartina tiştan ji komekê bihejmêrin. Di têkelkirinan de, rêza hilbijartinê neguherî dimîne, berevajî permutasyonan, ku rêza hilbijartinê girîng e. Têkelkirin di warên cûrbecûr de têne bikar anîn, ji zanista komputerê û biyolojiyê bigire heya aborî û matematîkê. Ev gotar dê têgeha bingehîn a têkelkirinan rave bike û çend mînakên pirsgirêk û nîqaşan peyda bike da ku alîkariya têgihîştina we bike.
Têgeha bingehîn a tevlîhevkirinê
Berî ku em derbasî pirsgirêkên mînak bibin, em bi têgihîştineke bingehîn a kombînasyonan dest pê bikin.
Têkeliya \(n\) tiştên ku di carekê de \(r\) têne girtin bi nîşana \(\binom{n}{r}\) an \(\mathbf{C}(n, r)\) tê destnîşankirin. Formula ji bo hesabkirina têkeliyê ev e:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
– \(n \) hejmara giştî ya tiştên berdest e.
– \( r \) hejmara tiştên ku werin hilbijartin e.
– ! (faktorîel) kiryarek matematîkî ye ku hejmarekê bi hemî hejmarên erênî yên li jêr wê heta 1ê zêde dike.
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Nimûneya Pirsa 1: Hilbijartina Tîmekê ji Komeke Xwendekaran
Pirs:
Di polê de 10 xwendekar hene. 4 xwendekar ji polê bi çend awayan dikarin werin hilbijartin da ku beşdarî pêşbirkê bibin?
Nîqaş:
Bi karanîna formula tevlihevkirinê:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
Hesabkirina faktoriyelê:
– \( 10! = 10 caran 9 caran 8 caran 7 caran 6! \)
– (4! = 4 caran 3 caran 2 caran 1 = 24)
– \( 6! \) jixwe li jor e, ji ber vê yekê ew dikare 6! di \(10!\) de betal bike.
Wiha:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 caran 9 caran 8 caran 7}{4 caran 3 caran 2 caran 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
Ji ber vê yekê, 210 rê hene ku meriv 4 xwendekar ji 10 xwendekaran hilbijêre.
Nimûneya Pirsa 2: Têkelkirinên Bi Bikaranîna Setên Kartan
Pirs:
Ji desteyek ji 52 kartan, çend rê hene ku meriv destek pokerê ya 5-kartî hilbijêre?
Nîqaş:
Bi karanîna formula tevlihevkirinê:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
Hesabkirina faktoriyelê:
– \( 52! = 52 caran 51 caran 50 caran 49 caran 48 caran 47! )
– (5! = 5 caran 4 caran 3 caran 2 caran 1 = 120)
– \( 47! \) jixwe li jor e, ji ber vê yekê ew dikare 47! di \(52!\) de betal bike.
Wiha:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52 caran 51 caran 50 caran 49 caran 48}{5 caran 4 caran 3 caran 2 caran 1} = \frac{311875200}{120} = 2598960 \]
Ji ber vê yekê, 2,598,960 rê hene ku meriv 5 kartan ji 52 kartan hilbijêre.
Mînak 3: Hesabkirina Kombînasyonan ji bo Hilbijartina Tîma Sporê
Pirs:
Tîmeke basketbolê ji 15 lîstikvanan pêk tê. Ger rahêner bixwaze 5 lîstikvanan wekî lîstikvanên sereke hilbijêre, ev yek bi çend awayan dikare were kirin?
Nîqaş:
Bi karanîna formula tevlihevkirinê:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]
Hesabkirina faktoriyelê:
– \( 15! = 15 caran 14 caran 13 caran 12 caran 11 caran 10! )
– (5! = 5 caran 4 caran 3 caran 2 caran 1 = 120)
– \( 10! \) jixwe li jor e, ji ber vê yekê ew dikare 10! di \(15!\) de betal bike.
Wiha:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15 caran 14 caran 13 caran 12 caran 11}{5 caran 4 caran 3 caran 2 caran 1} = \frac{360360}{120} = 3003 \]
Ji ber vê yekê, 3,003 rê hene ku meriv 5 lîstikvanan ji 15 lîstikvanan hilbijêre.
Nimûneya Pirsa 4: Têkelkirin di Biyolojiyê de
Pirs:
Di baxçeyekî de, 8 cureyên cûda yên kulîlkan hene. 3 cureyên kulîlkan bi çend awayan dikarin werin hilbijartin da ku aranjmanek kulîlkan çêbibe?
Nîqaş:
Bi karanîna formula tevlihevkirinê:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
Hesabkirina faktoriyelê:
– \( 8! = 8 caran 7 caran 6 caran 5! \)
– (3! = 3 caran 2 caran 1 = 6)
– \( 5! \) jixwe li jor e, ji ber vê yekê ew dikare 5! di \(8!\) de betal bike.
Wiha:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8 caran 7 caran 6}{3 caran 2 caran 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
Ji ber vê yekê, 56 rê hene ku meriv ji 8 cureyên kulîlkan 3 celeb kulîlkan hilbijêre.
Nimûneya Pirsa 5: Têkelkirin di Avakirina Tîmê de
Pirs:
Li ser refikê pirtûkan 12 pirtûkên cuda hene. Tu dikarî bi çend awayan 5 pirtûkan ji 12 pirtûkan hilbijêrî?
Nîqaş:
Bi karanîna formula tevlihevkirinê:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
Hesabkirina faktoriyelê:
– \( 12! = 12 caran 11 caran 10 caran 9 caran 8 caran 7! )
– (5! = 5 caran 4 caran 3 caran 2 caran 1 = 120)
– \( 7! \) jixwe li jor e, ji ber vê yekê ew dikare 7! di \(12!\) de betal bike.
Wiha:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12 caran 11 caran 10 caran 9 caran 8}{5 caran 4 caran 3 caran 2 caran 1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
Ji ber vê yekê, 792 rê hene ku meriv 5 pirtûkan ji 12 pirtûkan hilbijêre.
Xelasî
Têkelkirin di warên cûrbecûr de têgeheke pir bikêrhatî ne, nemaze dema ku em hewce ne ku hejmara awayên hilbijartina tiştan bêyî rêza wan bizanibin. Bi karanîna formula têkelkirina bingehîn \(\binom{n}{r}\), em dikarin wan bi lez û bez hesab bikin, heya ku em fêm bikin ka faktorîyal çawa dixebitin. Bi rêya mînakên jorîn, em hêvî dikin ku têgihîştineke bêkêmasî û zelaltir a têkelkirinan hebe. Ji bo ku têgihîştina xwe bêtir xurt bikin, bi cûrbecûr pirsgirêkan re pratîkê bidomînin.
