Nimûneyek ji pirsek nîqaşê li ser katsayiya diyarkeriyê
Koefîsyenta diyarkeriyê (R²) parametreyek girîng e di analîza regresyonê de, ku nîşan dide ka modelek regresyonê çiqas baş guherbariya rastîn a daneyan rave dike. Di vê gotarê de, em ê têgeha koefîsyenta diyarkeriyê bi rêya mînakek û nîqaşek berfireh rave bikin.
Têgeha bingehîn a rêjeya diyarkirinê
Koefîsyenta diyarkeriyê an jî \(R^2 \) li ser pîvanek ji 0 heta 1 tê pîvandin, ku tê de:
– \( R^2 = 0 \) nîşan dide ku modela regresyonê bi tevahî nikare guherbariya daneyan rave bike.
– \( R^2 = 1 \) nîşan dide ku modela regresyonê dikare hemû guherbariya daneyan bi awayekî bêkêmasî rave bike.
Formula bingehîn ji bo hesabkirina katsayiya diyarkeriyê ev e:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Ko:
– SSR (Sum of Squared Residuals) berhevoka çargoşeyên cudahiyên di navbera nirxên ku ji hêla modelê ve hatine pêşbînîkirin û nirxên rastîn de ye.
– SST (Total Sum of Squares) tevahîya berhevoka çargoşeyên cudahîyên di navbera nirxa rastîn û navînîya nirxên rastîn de ye.
Nimûneya pirsgirêkan
Ji bo têgihîştina kûrtir a hesabkirina katsayiya diyarkeriyê, em ê mînakek pirsgirêkekê nîqaş bikin.
Nimûneya pirsgirêkan:
Ferz bike ku daneyên me li ser hejmara demjimêrên xwendinê (X) û puanên azmûnê (Y) yên 10 xwendekaran hene:
| Xwendekar | Demjimêrên Xwendinê (X) | Pûana Ezmûnê (Y) |
|——-|———————–|———————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Em ê modelek regresyona xêzikî ya hêsan biafirînin ku tê de puanên azmûnê (Y) li gorî demjimêrên xwendinê (X) têne pêşbînîkirin.
Nîqaş
1. Avakirina Modelek Regresyona Xêzikî ya Hêsan
Modelek regresyona xêzik a hêsan xwedî forma jêrîn e:
\[ Y = a + bX \]
Ko:
– \( Y \) puana testê ya pêşbînîkirî ye.
– \( X \) hejmara saetên xwendinê ye.
– \( a \) xala qutkirinê ye (xala xaçerêyê li ser eksena Y dema ku X = 0 be).
– \( b \) meyldarî (xwarbûna xeta regresyonê) ye.
Ji bo hesabkirina parametreyên \(a\) û \(b\), em vê formulê bi kar tînin:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
Li vir \(n\) hejmara daneyan e (di vê rewşê de n = 10).
Ji tabloyê em dikarin hesab bikin:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
Pêşî em hejmara b hesab bikin:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
Piştre, em hesab dikin a:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Ji ber vê yekê, modela regresyona xêzik a ku em digirin ev e:
\[ Y = 56 + 4X \]
2. Nirxa Pêşbînîkirî (Y') Hesab Bike
Piştre, em nirxa pêşbînîkirî (Y') ji bo her (X) hesab dikin:
| Xwendekar | Demjimêrên Xwendinê (X) | Pûana Ezmûnê (Y) | Pûana Pêşbînîkirî (Y') |
|——-|———————–|———————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. Hesabkirina SSR û SST
Piştre, em SSR û SST hesab dikin da ku \(R^2\) bistînin.
SSR:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
SST:
\[SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
Ko:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Hesabkirina Koefîsyona Diyarîkirinê \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
Xelasî
Ji hesabkirina jorîn, me katsayiyek diyarker (R2 = 0.59) bi dest xist. Ev nîşan dide ku modela regresyona xêzikî ya ku me çêkiriye dikare bi qasî %59ê guherbariya di puanên azmûnê de li gorî demjimêrên xwendinê rave bike. %41ê mayî yê guherbariyê dikare ji ber faktorên din ên ku di modelê de nehatine girtin be.
Bi têgihîştina gav û hesabên li jor, em dikarin girîngiya katsayiya diyarker di nirxandina ka modela regresyonê ya ku em ava dikin çiqas baş guherbariya rastîn a daneyan rave dike de bibînin. Ew amûrek pir bikêrhatî ye di analîza îstatîstîkî û modelkirina daneyan de.
