Nimûneyên Pirsên ku Li Ser Beşên Konîk ên Parabolîk Diaxivin
Beşa konîk beşek ji rûbera konîk e ku bi balafirekê tê birîn. Şêweyên geometrîk ên beşên konîk xelek, elîps, parabol û hîperbolan dihewîne. Di vê gotarê de, em ê li ser parabolê bisekinin, ku yek ji celebên herî gelemperî yên beşên konîk e ku di warên cûrbecûr ên zanistê de, nemaze matematîk û fîzîkê de, tê dîtin. Parabol dikare wekî komek xalên ku ji xalek sabît (fokus) û xêzek sabît (rêber) wekhev dûr in, were pênase kirin.
Pênasîna Parabolê
Ji bo têgihîştina bêtir a têgeha parabolayê, pêdivî ye ku meriv çend hêmanên girîng ên parabolayê fam bike, ango:
1. Serê (Lûtke): Xala zivirîna parabolê ku parabola lê xêza xwe diguherîne.
2. Fokus: Xaleke sabît di balafirê de ku ji bo pênasekirina parabolekê tê bikar anîn.
3. Direktrix: Xêzeke sabît di nav rûberê de ku ji bo pênasekirina parabolekê tê bikaranîn.
4. Eksena Sîmetrîyê: Xêzek e ku di nav fokus û lûtkeyê re derbas dibe û parabolê dike du beşên simetrîk.
Hevkêşeya giştî ya parabolekê ku lûtkeya wê li destpêka (0,0) ye, dikare bi du awayan were nivîsandin:
- Parabola Horizontî: \( y^2 = 4ax \)
– Parabola Vertikal: \( x^2 = 4ay \)
ku \(a\) dûrahiya ji lûtkeyê heta fokusê ye.
Nimûneyên Pirs û Gotûbêjan
Li jêr çend mînakên pirsan û nîqaşên wan ên bi parabolan ve girêdayî ne.
Nimûneya Pirsa 1
Pirs:
Hevkêşeya parabolekê diyar bike ku lûtkeya wê li destpêka (0,0) û navenda wê li xala (3,0) ye.
Nîqaş:
Ji pirsê, em dibînin ku fokusa parabolayê li xala (3,0) ye. Ji ber ku fokus li ser eksena x-ya erênî ye, em dizanin ku parabola divê horizontî be.
Ji bo parabola horizontal, em hevkêşeya giştî \(y^2 = 4ax \) bi kar tînin.
Ji ber ku fokus li (3,0) ye, hingê \(a = 3\).
Ji ber vê yekê, hevkêşeya parabolayê wiha ye:
\[ y^2 = 4 \cdot 3 \cdot x \]
\[ y^2 = 12x \]
Nimûneya Pirsa 2
Pirs:
Hevkêşeya parabolekê diyar bike ku lûtkeya wê li destpêka (0,0) û rêvebera wê x = -4 e.
Nîqaş:
Rêkxerê parabolê xêza sabît a herî dûrî lûtkeyê ye, li hemberî fokusê. Ji ber vê yekê, heke rêkxerê x = -4 be, wê hingê fokus li (4,0) ye.
Dîsa, ev nîşan dide ku parabola horizontî ye.
Dûrahiya ji lûtkeyê heta fokusê, \(a = 4\).
Hevkêşeya parabolê ev e:
\[ y^2 = 4 \cdot 4 \cdot x \]
\[ y^2 = 16x \]
Nimûneya Pirsa 3
Pirs:
Parabola bi hevkêşeya \(x^2 = 8y \) were dayîn. Koordînatên hevkêşeya lûtkeyê, fokusê û dîrektrixê diyar bikin.
Nîqaş:
Ji hevkêşeya \(x^2 = 8y\), tê dîtin ku ev paraboleke vertîkal e.
Ji bo parabola bi şêweya \(x^2 = 4ay \), em dikarin berawird bikin:
\[ 4a = 8 \]
\[ a = 2 \]
Ev nîşan dide ku dûrahiya ji lûtkeyê heta fokusê 2 e.
– Koordînatên Lûtkeyê: Ji ber ku tu guheztin tune ye, lûtke li eslê xwe (0, 0) dimîne.
– Fokus: Fokus li ser eksena y ya erênî li dûrahiya a ji lûtkeyê ye, ango (0, 2).
– Rêkxer: Rêkxer xeta y = -a ye, ji ber vê yekê rêkxer y = -2 ye.
Nimûneya Pirsa 4
Pirs:
Hevkêşeya parabolekê diyar bike ku fokus li xala (0, -2) û lûtke jî li xala (0, 0) ye.
Nîqaş:
Ev pirsgirêk nîşan dide ku parabola vertîkal e û kêm dibe (ji ber ku fokus li binê lûtkeyê ye).
Ji bo paraboleke vertîkal a ber bi jêr ve, forma giştî \(x^2 = -4ay \) ev e.
Dûrahiya ji lûtkeyê heta fokusê, \(a = 2 \).
Ji ber vê yekê, hevkêşeya parabolayê wiha ye:
\[ x^2 = -4 \cdot 2 \cdot y \]
\[ x^2 = -8y \]
Nimûneya Pirsa 5
Pirs:
Parabolek xwedî hevkêşeya \(y^2 + 4y – 4x + 20 = 0 \) e. Koordînatên lûtke, fokus û derhênera wê diyar bikin.
Nîqaş:
Pêngava 1: Forma hevkêşeya parabolayê biguherînin forma standard.
Bi ji nû ve nivîsandina hevkêşeyê dest pê bikin:
\[ y^2 + 4y – 4x + 20 = 0 \]
\[ y^2 + 4y = 4x – 20 \]
Pêngava 2: Çargoşeya bêkêmasî ji bo beşa \(y\) temam bike:
\[ y^2 + 4y + 4 = 4x – 20 + 4 \]
\[ (y + 2)^2 = 4x – 16 \]
\[ (y + 2)^2 = 4(x – 4) \]
Pêngava 3: Bi forma giştî \( (y – k)^2 = 4a(x – h) \) re bidin ber hev. Di vê rewşê de, \(a = 1 \), \(k = -2 \), û \(h = 4 \).
- Koordînatên Lûtkeyê: (4, -2)
– Fokus: Ji ber ku \(a = 1\) e, dûrahiya wê ji lûtkeyê 1 yekîne ye. Fokus (4+1, -2) = (5, -2) e.
– Rêkxer: Xêza vertîkal ji \(x = h – a = 4 – 1 = 3 \) derbas dibe. Ji ber vê yekê, rêkxer \(x = 3 \) e.
Bi têgihîştina celebên cûda yên pirsgirêkan û rêbazên çareserkirina wan, tê hêvîkirin ku têgihîştina we ya parabolan baştir bibe. Ji bo xurtkirina vê têgehê, pirsgirêkên bi şekil û mîhengên cûda pratîk bikin. Parabol ne tenê têgeheke matematîkî ye, lê di heman demê de di fîzîk û endezyariyê de gelek sepanên wan hene, di nav de rêyên guleyan û reflektorên parabolîk di pergalên ragihandinê de. Çiqas hûn bêtir pratîk bikin, hûn ê di vê mijarê de bêtir serwer bibin.
