Nimûneyên Pirs û Gotûbêjên li ser Belavkirina Binomî
Belavkirina duqutbî yek ji belavkirinên îhtîmala cuda yên herî zêde tê bikaranîn e. Ew ji bo modelkirina hejmara serkeftinan li ser hejmarek ceribandinên wekhev û serbixwe kêrhatî ye, ku her yek ji wan serkeftin an têkçûnek çêdike. Di vê gotarê de, em ê bi pêşkêşkirina çend mînakan û nîqaşek berfireh li ser belavkirina duqutbî kûrtir bibin.
Pêşgotinek li ser Belavkirina Binomî
Taybetmendiyên sereke yên belavkirina binomial:
1. n: Hejmara ceribandin an dubarekirinan.
2. p: Îhtîmala serkeftinê di her ceribandinê de.
3. q = 1-p: Îhtîmala têkçûnê di her ceribandinê de.
Fonksiyona girseya îhtimalê ya belavkirina duqutbî ev e:
\[ P(X = k) = {n \k hilbijêre} p^k (1-p)^{nk} \]
mera:
– \( {n \k hilbijêre} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Guhêrbareke rasthatî ye ku hejmara serkeftinan temsîl dike.
– \( k \): Hejmara serkeftinên ku têne xwestin.
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Werin em bi hin mînakên pirsgirêkan dest pê bikin da ku têgeha belavbûna dualî bi hûrgilî fêm bikin.
Mînak 1: Hilbijartin ji Komek Xwendekaran
Bo nimûne, ferz bikin ku komeke me ji 10 xwendekaran pêk tê, û îhtîmala ku her xwendekarek ji bo beşdarbûna di pêşbirkê de were hilbijartin 0,3 e. Em dixwazin îhtîmala ku tam 4 xwendekar werin hilbijartin bizanibin.
Gav 1: Parametreyên belavkirina binomial nas bike.
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
Gava 2: Dabeşkirina duqutbî bikar bînin da ku îhtîmala \(X = 4 \) hesab bikin.
\[ P(X = 4) = {10 \hilbijêre 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Hesabkirina \( {10 \choose 4} \):
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Niha \( (0.3)^4 \) û \( (0.7)^6 \) hesab bike:
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Wiha,
\[ P(X = 4) = 210 √ 0.0081 √ 0.117649 √ nêzîkî 0.20012 \]
Ji ber vê yekê, îhtîmala ku tam 4 xwendekar werin hilbijartin bi qasî 0.20012 an jî %20.012 e.
Mînak 2: Îhtîmal Kêmtir an Wekhevî 2
Niha, bo nimûne, ji me tê pirsîn ka îhtîmala ku kêmtir an jî wekhevî 2 xwendekar werin hilbijartin çiqas e.
Gava 1: Divê em \(P(X = 0)\), \(P(X = 1)\), û \(P(X = 2)\) hesab bikin.
– Ji bo \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \choose 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– Ji bo \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \hilbijêre 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \choose 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– Ji bo \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \hilbijêre 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \choose 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Gav 2: Dibencanan li hev zêde bikin.
\[ P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Ji ber vê yekê, îhtîmala ku kêmtir an jî wekhevî 2 xwendekar werin hilbijartin bi qasî 0.7740671 an jî %77.41 e.
Mînak 3: Îhtîmala herî kêm 8
Eger ceribandinek 12 caran were kirin, û îhtîmala serkeftinê di her ceribandinekê de 0.5 be, îhtîmala ku herî kêm 8 caran serkeftî bibin çi ye?
Gava 1: Parametreyên duqatî destnîşan bike: \( n = 12, p = 0.5 \).
Gava 2: Îhtîmala \(X \geq8\) bibîne.
Ev yek hesabkirina çend îhtimalên takekesî û lêzêdekirina wan hewce dike:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Yek bi yek bijmêrin:
– Ji bo \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \hilbijêre 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \choose 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– Ji bo \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \hilbijêre 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \choose 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– Ji bo \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \choose 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– Ji bo \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \choose 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– Ji bo \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \hilbijêre 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \choose 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
Gav 3: Hemû îhtimalan lê zêde bikin.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \nêzîkî 0.1938477 \]
Ji ber vê yekê, îhtîmala ku di 12 ceribandinan de herî kêm 8 serkeftin çêbibin bi qasî 0.1938477 an jî %19.38 e.
Xelasî
Belavbûna duqatî (binomial) têgeheke bingehîn e di îstatîstîkê de ku di gelek sepanên pratîkî de girîng e. Bi têgihîştina ka meriv çawa îhtimalan ji bo rewşên cûda yên belavbûna duqatî hesab dike, wekî ku di mînakên jorîn de tê xuyang kirin, em dikarin vê têgehê di rewşên cîhana rastîn de bicîh bînin. Ev tetbîqat her weha têgihîştina me ya ka avahiyên îhtimalê çawa di çarçoveyek zelal û rêkûpêk de dixebitin xurt dike.
