Nimûneyên Pirsên ku Diyarker û Matrîksên Berevajî nîqaş dikin
Diyarkerên matrîksê û berevajîyên matrîksê du têgehên bingehîn in di cebrê xêzikî de ku di warên cûrbecûr de, di nav de matematîk, fîzîk, aborî û endezyariyê, sepanên berfireh hene. Têgihîştineke kûr a van têgehan ji bo çareserkirina gelek pirsgirêkên tevlihev ên matematîkî girîng e. Di vê gotarê de, em ê mînakên diyarker û berevajîyên matrîksê, digel nîqaşek berfireh, nîqaş bikin.
Diyarkerê Matrîkê
Determîner jimareyek skalar e ku bi matrîkseke çargoşeyî ve girêdayî ye (matrîkseke bi heman hejmara rêz û stûnan). Determîner dikare agahdariyên girîng li ser taybetmendiyên matrîksê peyda bike, wekî ka ew berevajî dibe an na.
Nimûneya Pirsa 1: Diyarkerê Matrîksa 2×2
Matrîksa \(A\) wiha tê dayîn:
\[
A = \begin{pmatrix}
4 û 3 \\
2 & 1
\end{matrîksa p}
\]
Determînera matrîksê \(A\) diyar bike.
Nîqaş:
Ji bo matrîkseke 2×2, diyarker dikare bi karanîna formula hêsan a jêrîn were hesibandin:
\[
\text{det}(A) = ad – bc
\]
li ku derê \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).
Guhertina hêmanên matrîksê \( A \):
\[
\text{det}(A) = (4 caran 1) – (3 caran 2) = 4 – 6 = -2
\]
Ji ber vê yekê, diyarkerê matrîksê (A) -2 e.
Nimûneya Pirsa 2: Diyarkerê Matrîksa 3×3
Matrîksa \(B \) wiha tê dayîn:
\[
B = \begin{pmatrix}
1 û 2 û 3 \\
0 û 1 û 4 \\
5 û 6 û 0
\end{matrîksa p}
\]
Determînera matrîksê \(B \) diyar bike.
Nîqaş:
Ji bo matrîkseke 3×3, diyarker dikare bi karanîna qaîdeya Sarrus an jî kofaktoran were hesibandin. Li vir, em ê qaîdeya Sarrus bikar bînin da ku hesabkirinê hêsan bikin.
Du stûnên yekem li aliyê rastê yê matrîksê dubare bikin:
\[
\text{det}(B) = \destpêk{vmatrix}
1 û 2 û 3 \\
0 û 1 û 4 \\
5 û 6 û 0
\end{vmatrix}
= 1\cdot1\cdot0 + 2\cdot4\cdot5 + 3\cdot0\cdot6 – (3\cdot1\cdot5 + 2\cdot0\cdot0 + 1\cdot4\cdot6)
\]
\[
= 0 + 40 + 0 – (15 + 0 + 24)
\]
\[
= 40 - 39 = 1
\]
Ji ber vê yekê, diyarkerê matrîksê (B) 1 e.
Matrîksa Berevajî
Berevajiya matrîksa \(A\) (eger hebe) matrîksa \(A^{-1}\) ye ku şertên jêrîn têr dike:
\[
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
\]
li vir \( I \) matrîsa nasnameyê ye ku hêmanên wê yên diyagonal 1 û hêmanên din 0 in.
Nimûneya Pirsa 3: Berevajiya Matrîksa 2×2
Matrîksa \(C \) wiha tê dayîn:
\[
C = \begin{pmatrix}
1 û 2 \\
3 & 4
\end{matrîksa p}
\]
Berevajiya matrîksa \(C \) bibîne.
Nîqaş:
Ji bo matrîkseke 2×2, berevajî dikare bi karanîna formula were hesibandin:
\[
C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \begin{pmatrix}
d û -b \\
-c û a
\end{matrîksa p}
\]
li ku derê \( C = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).
Pêşî, em diyarkerê matrîksê \(C \) hesab dikin:
\[
\text{det}(C) = (1 \cdot 4) – (2 \cdot 3) = 4 – 6 = -2
\]
Piştre, di formula berevajî de biguhezînin:
\[
C^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix}
4 û -2 \\
-3 û 1
\end{matrîksa p}
= \begin{pmatrix}
-2 û 1 \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{matrîksa p}
\]
Ji ber vê yekê, berevajîya matrîksa \(C \) \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \) ye.
Nimûneya Pirsa 4: Berevajiya Matrîksa 3×3
Matrîksa \(D \) wiha tê dayîn:
\[
D = \begin{pmatrix}
2 û 0 û 1 \\
3 û 0 û 0 \\
1 û 4 û 2
\end{matrîksa p}
\]
Berevajiya matrîksa \(D \) bibîne.
Nîqaş:
Ji bo matrîsên 3×3 an n×n, rêbaza hevpar a ku tê bikar anîn rêbaza echelon an jî rêbaza adjoint e. Li vir, em ê rêbaza echelon bikar bînin.
Gava yekem çêkirina matrîsa zêdekirî \([D|I] \) ye ku tê de \(I \) matrîsa nasnameyê ye:
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
2 û 0 û 1 û 1 û 0 û 0 \\
3 û 0 û 0 û 0 û 1 û 0 \\
1 û 4 û 2 û 0 û 0 û 1
\end{array}\right]
\]
Paşan, operasyonên rêzên bingehîn pêk bînin heta ku em matrîsa nasnameyê li milê çepê çêbikin:
1. Rêza 1: \( B_1 \div 2 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 û 0 û \frac{1}{2} û \frac{1}{2} û 0 û 0 \\
3 û 0 û 0 û 0 û 1 û 0 \\
1 û 4 û 2 û 0 û 0 û 1
\end{array}\right]
\]
2. Rêza 2: \( B_2 – 3B_1 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 û 0 û \frac{1}{2} û \frac{1}{2} û 0 û 0 \\
0 û 0 û -\frac{3}{2} û -\frac{3}{2} û 1 û 0 \\
1 û 4 û 2 û 0 û 0 û 1
\end{array}\right]
\]
3. Xeta 3: \( B_3 – B_1 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 û 0 û \frac{1}{2} û \frac{1}{2} û 0 û 0 \\
0 û 0 û -\frac{3}{2} û -\frac{3}{2} û 1 û 0 \\
0 û 4 û \frac{3}{2} û -\frac{1}{2} û 0 û 1
\end{array}\right]
\]
4. Rêza 3: \( B_3 \div 4 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 û 0 û \frac{1}{2} û \frac{1}{2} û 0 û 0 \\
0 û 0 û -\frac{3}{2} û -\frac{3}{2} û 1 û 0 \\
0 û 1 û \frac{3}{8} û -\frac{1}{8} û 0 û \frac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
5. Xeta 1: \( B_1 – \frac{1}{2}B_3 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 û 0 û 0 û \frac{5}{16} û 0 û -\frac{1}{8} \\
0 û 0 û -\frac{3}{2} û -\frac{3}{2} û 1 û 0 \\
0 û 1 û \frac{3}{8} û -\frac{1}{8} û 0 û \frac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
6. Rêza 2: \( B_2 \div -\frac{3}{2} \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 û 0 û 0 û \frac{5}{16} û 0 û -\frac{1}{8} \\
0 & 0 & 1 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\
0 û 1 û \frac{3}{8} û -\frac{1}{8} û 0 û \frac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
7. Xeta 3: \( B_3 – \frac{3}{8} B_2 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 û 0 û 0 û \frac{5}{16} û 0 û -\frac{1}{8} \\
0 & 0 & 1 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\
0 û 1 û 0 û -\frac{1}{4} û \frac{1}{6} û \frac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
Ji ber vê yekê, berevajîya matrîksa \(D \) \( \begin{pmatrix} \frac{5}{16} & 0 & -\frac{1}{8} \\ 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{6} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \) e.
Bi têgihîştina têgehan û mînakên berbiçav, em dikarin bibînin ku hesabkirina diyarker û berevajîyên matrîsan dikare bi rêbazên nisbeten hêsan were kirin, lê bandorek girîng li ser analîza daneyan û çareserkirina pirsgirêkên matematîkî yên tevlihevtir bike. Ev têgihîştin di cûrbecûr serîlêdanan de, di nav de grafîkên komputerê, analîza daneyan û pergalên hevkêşeyên xêzikî de girîng e.
