Nimûneyên Pirsên Li Ser Hejmarên Kompleks Gotûbêj Dikin
Hejmarên kompleks di matematîkê de, hem li astên lîseyê û hem jî li zanîngehê, mijarek pir caran tê dîtin e. Hejmarên kompleks ji du beşan pêk tên: beşek rastîn û beşek xeyalî. Bi karanîna nîşankirina kevneşopî, hejmareke kompleks wekî \(z = a + bi \) tê nivîsandin, ku \(a \) û \(b \) hejmarên rastîn in, û \(i \) yekîneya xeyalî ye bi taybetmendiya \(i^2 = -1 \). Ev gotar dê çend mînakan û nîqaşa wan di derbarê hejmarên kompleks de, ji operasyonên bingehîn bigire heya serîlêdanên di çareserkirina pirsgirêkan de, vehewîne.
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
1. Komkirin û Jêbirina Hejmarên Kompleks
Pirs 1
Bila \( z_1 = 3 + 4i \) û \( z_2 = 1 – 2i \). \( z_1 + z_2 \) û \( z_1 – z_2 \) hesab bike.
Nîqaş
Ji bo zêdekirin an jêbirina hejmarên kompleks, em tenê beşa rastîn bi ya rastîn û beşa xeyalî bi ya xeyalî re dixebitin.
Pitir:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
Xerîdar:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
Ji ber vê yekê, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) û \( z_1 - z_2 = 2 + 6i \).
2. Lêzêdekirina Hejmarên Kompleks
Pirs 2
Berhema \(z_1 = 2 + 3i \) bi \(z_2 = 4 – i \) hesab bike.
Nîqaş
Ji bo zêdekirina du hejmarên kompleks, em xisleta belavbûnê ya cebîrê bikar tînin:
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Em her pêkhateyekê pir zêde dikin:
\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Ji ber ku \( i^2 = -1 \), hingê:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Ji ber vê yekê, berhema \(z_1 \cdot z_2 \) \(11 + 10i \) ye.
3. Dabeşkirina Hejmarên Kompleks
Pirs 3
Reqema \(z_1 = 3 + 4i \) bi \(z_2 = 1 – i \) hesab bike.
Nîqaş
Ji bo dabeşkirina hejmareke kompleks, em hejmarker û jimarkerê bi hevgirêdana hevgirêdana hejmara kompleks zêde dikin. Hevgirêdana \(1 – i \) \(1 + i \) ye.
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
Pêşî em jimarkar hesab bikin:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
Niha em hejmarkerê hesab dikin:
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
Ji ber vê yekê, encam ev e:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. Modul û Argumana Hejmarên Kompleks
Pirs 4
Modulus û argumana \(z = 1 + i \) diyar bike.
Nîqaş
Modula jimara kompleks \(z = a + bi \) ev e:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Ji bo \(z = 1 + i \), me \(a = 1 \) û \(b = 1 \) heye:
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
Argumana hejmareke kompleks goşeya \( \theta \) ye ku bi eksena rastîn a erênî re çêdibe, ku ji eslê xêzê ber bi xala \((a, b) \) ve tê pîvandin.
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Ji ber vê yekê, modula \(z = 1 + i \) \(\sqrt{2} \) ye û arguman \(\frac{\pi}{4} \) ye.
5. Forma Eksponensîyal û Qaliba Euler
Pirs 5
Hejmareya kompleks \(z = 1 + i \) veguherîne forma eksponansiyel.
Nîqaş
Forma eksponensiyel a hejmarên kompleks bi karanîna formula Euler:
\[
z = re^{i\theta}
\]
Li vir (r) modul e û (theta) arguman e. Ji nîqaşa berê, em dizanin ku:
\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]
Ji ber vê yekê, forma eksponensiyel ev e:
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
6. Kokên Hejmarên Kompleks
Pirs 6
Rehên çargoşe yên hejmara kompleks \(z = -1 \) bibîne.
Nîqaş
Rehên çargoşe yên hejmarên kompleks dikarin bi karanîna forma qutbî an eksponansiyel werin dîtin. Em \(z = -1 \) vediguherînin forma eksponansiyel:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
Koka çargoşe ya \(e^{i\pi}\) dikare wiha were nivîsandin:
\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]
Bi (r = 1), (theta = pi), (n = 2), û (k = 0, 1):
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
Ji ber vê yekê, rehên çargoşe yên \(-1\) \(i\) û \(-i\) ne.
7. Bikaranîn di hevkêşeyên çargoşeyî de
Pirs 7
Hevkêşeya duqatî ya \(z^2 + 4z + 13 = 0 \) çareser bike.
Nîqaş
Em dikarin formula çargoşeyî bikar bînin:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Ji bo hevkêşeya \(z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
Ji ber vê yekê, çareseriyên \(z^2 + 4z + 13 = 0 \) \(z = -2 + 3i \) û \(z = -2 – 3i \) ne.
Xelasî
Hejmarên kompleks têgeheke matematîkî ya pir berfireh e ku gelek sepandinên wê hene. Bi têgihîştina operasyonên bingehîn ên wekî komkirin, jêkirin, pirbûn û dabeşkirinê, û her weha çawaniya hesabkirina modul û argumanê, em dikarin pirsgirêkên cûrbecûr ên têkildarî hejmarên kompleks çareser bikin. Hêvîdarim ku mînakên jorîn dê ji we re bibin alîkar ku hûn vê mijarê çêtir fam bikin û serdest bibin.
