기체 운동론은 모든 물질이 원자 또는 분자로 구성되어 있으며, 이 원자 또는 분자들이 끊임없이 무작위 운동을 한다고 주장합니다. 이 운동론적 가설은 기체를 구성하는 원자 또는 분자들의 상황과 조건에 잘 들어맞습니다. 기체를 구성하는 원자 또는 분자들 사이의 인력은 매우 약하기 때문에 원자 또는 분자들이 자유롭게 움직일 수 있습니다.
움직일 때 원자나 분자는 속도를 가지고 있습니다. 또한 원자나 분자는 질량을 가지고 있습니다. 질량(m)과 속도(v)를 가지고 있기 때문에 원자나 분자는 운동 에너지(EK)와 운동량(p)을 갖습니다. 운동 에너지 : EK = 1/2 mv² 운동량 : p = mv 운동 에너지와 운동량 외에도 힘(F)이 존재합니다. 자유롭게 움직일 때 충돌은 필연적으로 발생합니다. 따라서 충돌이 발생할 때 운동량의 변화 때문에 힘이 발생합니다. 충격량과 운동량에 대한 설명을 다시 떠올려 보세요. 운동 에너지, 운동량, 그리고 충격량은 역학(뉴턴의 법칙, 충격량, 운동량)에서 우리가 다루는 핵심 내용입니다. 기체 운동론은 기체 물질을 구성하는 원자나 분자 수준에서 역학의 원리를 적용한 것이라고 할 수 있습니다.
이상 기체 개념 (기체의 거시적 성질에 기반함)
기체 법칙에 대한 논의에서, 실제 기체의 거시적 성질을 설명하는 세 가지 물리량, 즉 온도(T), 부피(V), 압력(P)에 대해 설명했습니다. 이 세 가지 물리량 사이의 관계는 보일의 법칙, 샤를의 법칙, 그리고 게이-루삭의 법칙으로 표현됩니다. 이 세 가지 법칙은 압력과 밀도가 비교적 낮은(밀도 = 질량/부피) 실제 기체에만 적용된다는 점에 유의해야 합니다. 또한, 이 세 가지 법칙은 온도가 끓는점에 근접하지 않는 실제 기체에만 적용됩니다.
보일의 법칙, 샤를의 법칙, 그리고 게이-뤼삭의 법칙은 모든 실제 기체 조건에 적용되는 것은 아니므로, 이상 기체 모델을 만들 수 있습니다. 이상 기체는 일상생활에 존재하지 않으며, 강체나 이상 유체처럼 분석을 용이하게 하기 위해 의도적으로 만들어진 완벽한 형태일 뿐입니다. 따라서 우리는 보일의 법칙, 샤를의 법칙, 그리고 게이-뤼삭의 법칙이 모든 이상 기체 조건에 적용된다고 가정합니다. 이상 기체 모델의 존재는 거시적인 기체 물리량 사이의 관계를 연구하는 데 도움을 줍니다.
이상 기체 법칙은 PV = nRT (몰 단위 이상 기체 법칙)와 PV = NkT (분자 단위 이상 기체 법칙) 두 가지 방정식으로 표현됩니다. 이상 기체는 이 두 방정식을 모두 만족한다고 가정합니다. 즉, 이상 기체 법칙은 이상 기체의 압력이나 밀도가 매우 크고 온도가 끓는점에 가까울 때, 모든 이상 기체 조건에 적용됩니다. 반대로, 이상 기체 법칙은 모든 실제 기체 조건에 적용되는 것은 아닙니다. 이상 기체 법칙은 실제 기체의 압력과 밀도가 너무 크지 않을 때, 그리고 온도가 끓는점에 가깝지 않을 때에만 적용됩니다. 따라서, 실제 기체는 실제 기체의 밀도와 압력이 너무 크지 않고 온도가 끓는점에 가깝지 않을 때에만 이상 기체와 유사한 성질을 가진다고 할 수 있습니다.
위에서 설명한 이상 기체 개념은 거시적 관점에서 살펴보았습니다. 이상 기체는 이상적인 모델일 뿐이지만, 여전히 자유롭게 움직이는 원자 또는 분자로 구성된 기체로 간주됩니다. 따라서 이상 기체 개념을 미시적 관점에서도 논의하는 것이 유용할 것입니다.
이상 기체 개념 (기체의 미시적 특성에 기반함)
다음은 기체 운동론에 근거하여 이상 기체의 미시적 조건을 간략하게 설명한 것입니다.
1. 이상 기체는 분자라고 불리는 입자들로 이루어져 있습니다. 분자의 수는 매우 많습니다. 이상 기체 분자는 하나의 원자로 이루어질 수도 있고 여러 개의 원자로 이루어질 수도 있습니다. 각 분자는 질량(m)을 가지고 있으며, 일정한 속도(v)로 모든 방향으로 무작위로 움직입니다.
2. 각 분자 사이의 거리는 각 분자의 지름보다 크다.
3. 이 분자들은 운동 법칙을 따르며 충돌이 발생할 때 서로 상호작용합니다.
4. 분자 간 또는 분자와 용기 벽 사이의 충돌은 완전 탄성 충돌이며 각 충돌은 매우 짧은 시간 내에 발생합니다.
완전 탄성 충돌에서는 에너지 보존 법칙(충돌 전 에너지 = 충돌 후 에너지)과 운동량 보존 법칙(충돌 전 운동량 = 충돌 후 운동량)이 적용됩니다.
기체 운동론에 대한 충격량-충돌 복습
기체의 거시적 양과 미시적 양 사이의 정량적 관계를 살펴보십시오. 기체의 거시적 성질을 나타내는 양은 온도(T), 부피(V), 압력(P)입니다. 한편, 기체의 미시적 성질을 나타내는 양은 기체를 구성하는 원자 또는 분자의 속도(v), 운동량(p), 힘(F), 운동 에너지(EK)입니다.
이 관계를 유도하기 위해 밀폐된 용기 안에 있는 여러 기체 분자를 생각해 보겠습니다. 용기의 한 변의 길이는 l이고 단면적은 A입니다.
분자는 질량(m)을 가지고 있으며, 움직일 때는 속도(v)를 갖습니다. 용기가 닫혀 있기 때문에 분자와 용기 벽(표면적 A) 사이의 충돌 가능성이 있습니다.
분석을 단순화하기 위해 왼쪽 벽(z축과 평행한 벽)에서 발생하는 충돌만 고려하겠습니다. 먼저 단일 분자가 겪는 충돌을 생각해 보겠습니다. 이 분자를 분자 1이라고 하겠습니다. 질량은 m1 이고 속도는 v1입니다 . 왼쪽 방향의 운동 방향을 음수로, 오른쪽 방향의 운동 방향을 양수로 설정합니다.
분자가 용기 벽에 부딪히기 전에는 x축과 평행하게 왼쪽 방향으로 움직인다고 가정할 수 있습니다. 따라서 x축 방향의 속도 성분은 음수 값(‐v)을 갖습니다.1x 질량(m)을 가지고 있기 때문입니다.1) 및 속도(-v)1x그러면 분자는 운동량(p)을 갖게 됩니다.1 = -m1 v1x이것이 초기 운동량입니다. 분자가 벽에 부딪히면 벽에 작용력을 가합니다. 작용력이 작용하므로 벽은 반작용력을 가합니다. 벽의 반작용력으로 인해 분자는 오른쪽으로 튕겨 나갑니다. 운동 방향이 오른쪽이므로 분자의 속도 성분은 양수입니다(v).1x충돌 후 분자의 운동량은 다음과 같습니다: p2 =m1 v1x이것이 마지막 추진력입니다.
충돌로 인한 운동량 변화의 크기는 다음과 같습니다.
총 운동량 = 최종 운동량 – 초기 운동량
p 총합 = p2 – p1
p 총합 = m 1 v 1x ‐ (‐m 1 v 1x )
p 총합 = 2m 1 v 1x
2m 1 v 1x = 단일 충돌에 대한 총 운동량. 분자 충돌은 완전 탄성 충돌이므로 한 번만 발생하는 것이 아니라 반복적으로 발생합니다. 완전 탄성 충돌에서는 에너지 보존 법칙과 운동량 보존 법칙이 적용됩니다. 충돌 전 에너지와 운동량은 충돌 후 에너지와 운동량과 같습니다. 따라서 분자는 절대 멈추지 않고 계속 움직입니다(에너지 보존). 또한 분자의 속도는 절대 감소하지 않습니다(운동량 보존).
분자는 왼쪽 벽에 충돌한 후 오른쪽으로 이동하여 오른쪽 벽에 충돌합니다. 오른쪽 벽에 충돌한 후 분자는 다시 왼쪽으로 이동하여 왼쪽 벽에 다시 충돌합니다. 상자 한 변의 길이가 l이므로, 분자는 왼쪽 벽에 처음 충돌한 후 두 번째로 왼쪽 벽에 충돌하기 전까지 2l의 거리를 이동합니다 (2l = 왕복 거리). 2l의 거리를 이동하는 데에는 일정 시간 간격(Δt)이 필요합니다. 분자가 2l의 거리를 이동하는 데 필요한 시간 간격(Δt)은 수학적으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
델타 t는 각 충돌 사이의 시간 간격입니다. 분자가 벽에 충돌하면 벽에 작용력을 가합니다. 벽은 작용력을 받기 때문에 반작용력을 가합니다. 이 반작용력으로 인해 분자는 다시 오른쪽으로 움직입니다. 이 경우 분자의 운동 방향이 바뀝니다. 처음에는 분자가 왼쪽으로 움직이다가(-v₁x ) 벽에 충돌한 후에는 오른쪽으로 움직입니다(v₁x ) . 운동 방향의 변화는 운동량의 변화를 일으킵니다(최종 운동량 - 초기 운동량 = m₁v₁x - (-m₁v₁x) = 2m₁v₁x). 운동량의 변화는 벽이 가하는 전체 힘 때문에 발생한다고 할 수 있습니다. 벽이 가하는 전체 힘의 크기는 수학적으로 다음과 같습니다.
위 상자에는 분자 하나만 나와 있습니다. 하지만 상자 안에 기체 분자가 하나만 있다는 뜻은 아닙니다. 실제로는 기체 분자가 많이 있습니다. 상자 안의 모든 기체 분자에 작용하는 총 힘의 크기는 수학적으로 다음과 같습니다.
F = F1 + F2 + F3 +….. + Fn
F1 = 분자 1에 대한 총 힘
F2 = 분자 2에 대한 총 힘
F3 = 분자 3에 대한 총 힘
…… = 등등
Fn = 분자 4에 대한 총 힘
분자의 수가 매우 많으므로 간단히 기호 n으로 나타냅니다. n은 마지막 분자를 의미합니다.
m1 = 첫 번째 분자의 질량, m2 = 두 번째 분자의 질량, m3 = 세 번째 분자의 질량, mn = 마지막 분자의 질량. m1 + m2 + m3 + … + mn = m (상자 안의 기체의 총 질량). l = 상자 한 변의 길이. 모든 분자는 동일한 길이 l만큼 이동해야 합니다.
v₁₂x = 분자 1의 속도, v₂₂x = 분자 2의 속도, v₃₃x = 분자 3의 속도, vₙ₂x = 마지막 분자의 속도 입니다 . 각 분자의 속도는 서로 다르므로 모든 분자의 평균 속도를 계산해야 합니다. 분자의 평균 속도를 계산하려면 모든 분자의 속도를 분자 수로 나누면 됩니다. 기체 운동론에서 분자 수는 일반적으로 기호 N으로 나타냅니다. 수학적으로 모든 분자의 평균 속도는 다음과 같이 표현됩니다.
이전 설명에서는 분자들이 x축에 평행하게 움직인다고 가정했습니다. 이 가정은 분석을 단순화하기 위한 것일 뿐입니다. 실제로는 상자 안의 모든 기체 분자가 모든 방향으로 무작위로 움직이는 것은 아닙니다. 분자들의 움직임은 무작위적이기 때문에, x축 방향의 평균 속도 성분 외에도 y축 또는 z축 방향의 평균 속도 성분도 가지게 됩니다. 따라서 기체 분자의 평균 속도는 x축, y축, z축 방향의 평균 속도 성분의 합과 같습니다. 수학적으로는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
분자들이 무작위로 움직이기 때문에 x축, y축, z축 방향의 속도 성분은 모두 같은 크기를 갖습니다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.
F는 표면적 A를 가진 용기의 벽에 기체 분자가 가하는 힘의 크기입니다.
압력(P)과 미시적 양 사이의 관계
압력(P)은 기체의 거시적 특성을 나타내는 물리량입니다. 기체의 미시적 특성을 바탕으로 압력을 생각해 봅시다. 단면적 A를 가진 벽에 기체 분자가 가하는 압력의 크기는 다음과 같습니다.
설명 :
P = 압력
N = 기체 분자 수
m = 질량
v = 분자의 평균 속도
V = 용기의 부피
