27. 포물체 운동 – 문제점과 해결책
1. 총알이 60 ° 의 각도 로 20m/s 의 속도 로 발사되었습니다. 중력 가속도는 10m/s² 입니다 . 최고 높이에 도달하는 데 걸리는 시간은 얼마입니까?
알려진 바에 따르면:
총알의 초기 속도(vo ) = 20m/s
각도(θ) = 60 ° C
중력 가속도(g) = 10 ms⁻²
구하는 것: 최고 높이 에 도달하는 데 걸리는 시간 간격
솔루션 :
수평 방향(x축)의 초기 속도:
v ox = v o cos 60 o = (20)(0.5) = 10 m/s
수직 방향(y축)의 초기 속도:
v oy = vo sin 60 o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s
최대 높이에 도달하는 데 걸리는 시간 간격은 다음 방정식을 사용하여 계산됩니다.
v ty = v oy + gt
v ty = 수직 방향의 최종 속도 = 최고점에서의 최종 속도 = 0 m/s
v oy = 수평 방향 초기 속도 = 10√3 m/s
g = 중력 가속도 = 10 m/ s²
t = 시간 간격
시간 간격:
v ty = v oy + gt
0 = 10√3 – 10 t
10√3 = 10 t
t = 10√3 / 10
t = √3초
2. 어떤 물체가 각도를 이루며 발사되었습니다. 물체의 높이는 시간 간격이 1초일 때와 3초일 때 동일합니다. 물체가 공중에 머무르는 시간은 얼마입니까?
솔루션 :
물체가 4초 동안 공중에 떠 있었습니다.
3. 항공기가 50m/s의 속도로 수평 비행을 하고 있습니다. 고도 2km에서 항공기에서 물체를 떨어뜨립니다. 중력 가속도는 10m/ s²입니다. 물체가 지면에 닿기까지의 시간 간격은 얼마입니까?
알려진 바에 따르면:
높이 = 2km = 2000미터
중력 가속도(g) = 10 m/ s²
구하는 값: 시간 간격(t)
솔루션 :
h = 1/2 gt 2
2000 = 1/2 (10) t 2
2000 = 5 t 2
t 2 = 2000/5 = 400
t = √400 = 20초
4. 킥으로 찬 축구공이 수평면과 θ = 45 ° 의 각도로 지면을 떠나며 초기 속도는 25 m/s입니다. 점 X의 거리를 구하세요. 중력 가속도는 10 m/s² 입니다.
알려진 바에 따르면:
초기 속도(vo ) = 25 m/s
중력 가속도(g) = 10 m/ s²
각도(θ) = 45 °
구함 : X
솔루션 :
초기 속도의 수평 성분:
v ox = v o cos θ = (25 m/s)(cos 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
초기 속도의 수직 성분:
v oy = v o sin θ = (25 m/s)(sin 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
포물체 운동은 운동의 수평 성분과 수직 성분을 각각 분석함으로써 이해할 수 있습니다. x축 방향으로는 일정한 속도로, y축 방향으로는 일정한 중력 가속도로 운동합니다.
공중 체류 시간 (t):
체공 시간은 상승 수직 운동 방정식을 이용하여 계산됩니다.
상승 방향을 긍정적, 하강 방향을 부정적으로 선택하세요.
알려진 바에 따르면:
초기 속도(v₀ ) = 12.5√2 m/s (상향 방향, 양의 값)
중력 가속도(g) = -10 m/s² ( 아래 방향, 음수)
높이(h) = 0
구하는 값: 시간 간격(t)
솔루션 :
h = v o t + 1/2 gt 2
0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t 2
0 = 12.5√2 t – 5 t 2
12.5√2 t = 5 t 2
12.5√2 = 5 t
t = 12.5√2 / 5
t = 2.5√2초
수평 거리 (X):
일정한 속도로 움직이는 등속 직선 운동 방정식을 이용하여 계산하였다 .
알려진 바에 따르면:
속도(v) = 12.5√2 m/s
시간 간격(t) = 2.5√2초
원하는 것: 거리
솔루션 :
d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5미터
5. 수평면과 θ = 30 ° 각도로 위쪽으로 발사된 물체의 초기 속도는 20 m/s입니다. 중력 가속도는 10 m/s²입니다 . 최대 높이를 구하세요.
알려진 바에 따르면:
초기 속도(v)o) = 20 m/s
중력 가속도(g) = 10 m/ s²
각도(θ) = 30 °
원하는 것 : 최대 높이
솔루션 :
먼저 초기 속도의 수직 성분(voy ) 을 구합니다.
v oy = v o sin 30 o = (20)(sin 30 o ) = (20)(0.5) = 10 m/s
최대 높이를 계산하세요. 위쪽 방향을 양의 값으로, 아래쪽 방향을 음의 값으로 선택하세요.
알려진 바에 따르면:
중력 가속도(g) = -10 m/s² ( 아래 방향 , 음수 )
초기 속도의 수직 성분(voy ) = 10 m/s ( 위쪽 방향, 양의 값 )
최고 높이에서의 속도(v ty ) = 0
구하는 값: 최대 높이(h)
솔루션 :
v t 2 = v o 2 + 2 gh
0 2 = 10 2 + 2 (-10) h
0 = 100 – 20시간
100 = 20시간
h = 100/20
h = 5미터
최대 높이는 5미터입니다.
6. 어떤 물체를 특정한 각도로 던졌습니다. 1초 후와 3초 후의 물체의 높이가 같습니다. 공중에 머무른 시간을 구하세요.
A. 3.6초
B. 4.0초
C. 5.6초
D. 6.4초
해법
체공 시간 = 4초.
정답은 B입니다.
7. 항공기가 50m/s의 속도로 수평 비행을 하고 있다. 항공기가 고도 2km에 있을 때, 물체가 항공기에서 자유낙하할 수 있다. 이 물체의 운동 유형을 판별하시오.
A. 자유낙하 운동
B. 부유 운동
C. 수평 이동
D. 포물선 운동
솔루션 :
움직이는 비행기에서 물체를 떨어뜨리는 이유는 물체의 속도가 비행기의 속도와 같기 때문입니다. 즉, 50m/s입니다. 물체의 운동은 자유낙하 운동이 아니라 포물선 운동입니다. 움직이는 자동차 안에서 물체를 떨어뜨리는 경우와 같은 원리입니다.
정답은 D입니다.
8. 공이 높이 60미터의 절벽에서 수평 방향으로 초속 15미터의 속도로 던져졌습니다. 공이 지면에 떨어지는 데 걸리는 시간은 얼마입니까?
해결 방법: \( h = \frac{1}{2} gt^2 \)를 사용하면 시간은 \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \)임을 알 수 있습니다.
9. 발사체가 수평면에서 30° 위쪽 각도로 초기 속도 20m/s로 발사되었습니다. 도달하는 최고 높이는 얼마입니까?
해결 방법: \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \)를 사용하면 최대 높이는 \( h \approx 10.2\ \text{m} \)입니다.
10. 높이 80미터의 탑에서 돌을 수평 방향으로 10m/s의 속도로 던졌습니다. 돌이 지면에 닿기 전까지 수평으로 이동한 거리를 구하세요.
해결 방법: 문제 1과 유사한 방법으로 시간을 구하면 수평 거리는 \( d = vt \approx 40\ \text{m} \)입니다.
11. 포탄이 45°의 각도로 40m/s의 속도로 발사되었습니다. 비행 시간을 구하세요.
해결 방법: \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \)를 사용하면 비행 시간은 \( t \approx 5.8\ \text{s} \)입니다.
12. 야구공을 60° 각도로 12m/s의 속도로 던졌습니다. 수평 도달 거리를 구하세요.
해결 방법: \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \)를 사용하면 범위는 \( R \approx 14.0\ \text{m} \)입니다.
13. 발사체가 수평면에서 37° 위쪽 방향으로 50m/s의 초기 속도로 발사되었습니다. 수직 속도 성분은 얼마입니까?
해결 방법: 수직 성분은 \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \)입니다.
14. 발사체가 100미터 높이에서 수평 방향으로 20m/s의 속도로 발사되었습니다. 발사체가 지면에 충돌하기 직전의 수직 속도는 얼마입니까?
해결 방법: \( v_y = \sqrt{2gh} \)를 사용하면 수직 속도는 \( v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \)입니다.
15. 돌멩이가 수평면에서 25° 위쪽 각도로 초기 속도 15m/s로 던져졌습니다. 속도의 수평 성분과 수직 성분은 무엇입니까?
해결: 수평 성분은 \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \)이고, 수직 성분은 \( v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \)입니다.
16. 축구공이 수평면에서 40° 각도로 30m/s의 초기 속도로 차였습니다. 수평 속도 성분은 얼마입니까?
해결 방법: 수평 성분은 \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \)입니다.
17. 골프공이 70m/s의 초기 속도로 20°의 각도로 타격되었습니다. 비행 시간은 얼마입니까?
해결 방법: 비행 시간 방정식을 사용하면 시간은 \( t \approx 4.9\ \text{s} \)입니다.
18. 발사체가 지면에서 수평면 위 53° 각도로 25m/s의 속도로 발사되었습니다. 초기 수직 속도 성분은 얼마입니까?
해결 방법: 수직 성분은 \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \)입니다.
19. 야구공을 초기 속도 20m/s, 각도 50°로 던졌습니다. 최고 높이는 얼마입니까?
해결 방법: 최대 높이에 대한 공식을 사용하면 높이는 \( h \approx 15.3\ \text{m} \)입니다.
20. 총알이 10미터 높이에서 200m/s의 속도로 수평 방향으로 발사되었습니다. 총알이 지면에 떨어지는 데 걸리는 시간은 얼마입니까?
해결: 시간 방정식을 사용하면 시간은 \( t \approx 1.4\ \text{s} \)입니다.
21. 포탄이 45m/s의 속도로 30°의 각도로 발사되었다. 사거리를 구하시오.
해결 방법: 범위 방정식을 사용하면 범위는 \( R \approx 88.2\ \text{m} \)입니다.
22. 농구공을 75°의 각도로 10m/s의 속도로 던졌습니다. 수평 도달 거리를 구하세요.
해결 방법: 범위 방정식을 사용하면 범위는 \( R \approx 5.3\ \text{m} \)입니다.
23. 발사체가 수평면에서 22° 위쪽 방향으로 30m/s의 초기 속도로 발사되었습니다. 발사체가 지면에 충돌하기 직전의 수직 속도는 얼마입니까?
해결 방법: 수직 속도 방정식을 사용하면 수직 속도는 \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \)입니다.
24. 높이 40미터의 탑에서 돌을 수평 방향으로 8m/s의 속도로 던졌습니다. 돌이 수평 방향으로 이동한 거리는 얼마입니까?
해결 방법: 수평 거리 공식을 사용하면 거리는 \( d \approx 16\ \text{m} \)입니다.
25. 축구공이 수평면에서 30° 위쪽 각도로 12m/s의 초기 속도로 차였습니다. 속도의 수평 성분과 수직 성분은 무엇입니까?
해결: 수평 성분은 \( v_x \approx 10.4\ \text{m/s} \)이고, 수직 성분은 \( v_y \approx 6\ \text{m/s} \)입니다.
26. 골프공이 50m/s의 초기 속도로 15°의 각도로 타격되었습니다. 비행 시간은 얼마입니까?
해결 방법: 비행 시간 방정식을 사용하면 시간은 \( t \approx 2.6\ \text{s} \)입니다.
27. 발사체가 지면에서 수평면 위 60° 각도로 40m/s의 속도로 발사되었습니다. 초기 수평 속도 성분은 얼마입니까?
해결 방법: 수평 성분은 \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \)입니다.
