연속 방정식에 관한 기사
수도꼭지를 천천히 열면서 나오는 물의 속도를 관찰해 보세요. 이제 수도꼭지를 닫았을 때와 열었을 때 물의 흐름 속도가 어느 쪽이 더 빠른지 비교해 보세요. 그 이유는 무엇일까요? 이를 이해하려면 연속 방정식에 대해 알아보세요.
스트림라인 재융자
일정한 흐름에서 유체 입자는 A 지점에서 항상 같은 속도를 유지합니다. B 지점을 지날 때 유체 입자의 속도는 변할 수 있지만, B 지점에 도달하면 뒤에서 오는 유체 입자는 앞에서 오는 유체 입자와 같은 속도로 흐릅니다. C 지점에 도달할 때도 마찬가지입니다. 유선은 A, B, C 지점을 연결하는 곡선입니다.
유량관
유체 흐름의 각 지점을 통과하는 유선을 각각 묘사할 수 있습니다. 안정적인 유체 흐름을 관찰할 때, 가상의 표면적을 특정 각도로 통과하는 여러 유선들이 흐름관을 형성합니다. 유체 입자들은 서로 교차하지 않고 항상 평행하게 움직이며, 이 흐름관은 모양이 변하지 않는 파이프와 같은 형태를 띨 것입니다. 관의 한쪽 끝으로 들어간 유체는 다른 쪽 끝으로 나옵니다.
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차변
유량은 특정 시간 간격 동안 특정 단면을 통해 흐르는 유체의 부피를 나타냅니다. 수학적으로는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
배출량 = 유체량 / 시간 간격
Q = V / t
이해를 돕기 위해 예를 들어 설명하겠습니다. 예를 들어, 유체가 파이프를 통해 흐른다고 가정해 봅시다. 파이프는 일반적으로 원통형이며 일정한 단면적을 가지고 있습니다. 또한 파이프는 길이도 가지고 있습니다.
유체가 파이프를 따라 길이 L만큼 흐를 때, 파이프 내 유체의 부피는 V = AL (V = 유체의 부피, A = 단면적, L = 파이프의 길이)입니다. 유체가 파이프를 따라 길이 L만큼 흐르는 데에는 일정 시간이 걸리므로, 이때 유체의 양은 다음과 같습니다.
v = s / t = L / t → L = vt이므로 위의 방정식은 다음과 같이 바뀝니다.
따라서 특정 단면적과 길이를 가진 파이프를 통해 유체가 일정 시간 동안 흐를 때, 유체 배출량(Q)은 단면적(A)에 유체 유속(v)을 곱한 값과 같습니다.
연속 방정식
아래 그림과 같이 직경이 다른 파이프에서의 유체 흐름을 살펴보십시오.
이 이미지는 유체가 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르는 것을 보여줍니다(유체가 지름이 큰 파이프에서 지름이 작은 파이프로 흐릅니다). 점선은 유선형을 나타냅니다.
A₁ = 대구경 파이프 단면적, A₂ = 소구경 파이프 단면적, v₁ = 대구경 파이프에서의 유체 유속, v₂ = 소구경 파이프에서의 유체 유속, L = 유체가 이동한 거리.
정상 흐름에서 유체 입자의 속도는 한 지점에서 동일하며, 그 지점을 통과하는 다른 유체 입자의 속도 또한 같습니다. 유체 흐름은 서로 교차하지 않습니다(흐름선은 평행합니다). 따라서 파이프 한쪽 끝으로 들어오는 유체의 질량은 다른 쪽 끝으로 나가는 유체의 질량과 같아야 합니다. 만약 유체의 질량이 일정하고, 지름이 큰 파이프로 들어온다면, 그 유체는 지름이 작은 파이프를 통해 동일한 질량으로 나가게 됩니다.
위의 파이프 그림을 살펴보세요. 지름이 큰 파이프와 지름이 작은 파이프를 다시 확인해 보세요.
일정 시간 간격 동안, 큰 직경의 파이프 부분(A₁ ) 을 통해 일부 유체가 L₁ 까지 흐릅니다 (L₁ = v₁t ) . 이때 흐르는 유체의 부피는 V₁ = A₁L₁ = A₁v₁t입니다 . 같은 시간 간격 동안 , 작은 직경의 파이프 부분( A₂ ) 을 통해 다른 유체가 L₂까지 흐릅니다 ( L₂ = v₂t ) . 이때 흐르는 유체 의 부피 는 V₂ = A₂L₂ = A₂v₂t 입니다.
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비압축성 유체에 대한 연속 방정식
비압축성 유체의 경우, 유체 밀도는 유체가 지나가는 모든 지점에서 항상 동일합니다. 단면적이 A1인 파이프(큰 파이프 직경)를 특정 시간 간격 동안 흐르는 유체의 질량은 다음과 같습니다.
마찬가지로, 단면적이 A²인 파이프(작은 파이프 직경)를 특정 시간 간격 동안 흐르는 유체의 질량은 다음 과 같습니다.
일정한 흐름에서는 유입되는 유체의 질량과 유출되는 유체의 질량이 같으므로 다음과 같습니다.
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
A 1 대 1 = A 2 대 2
따라서 비압축성 유체 에서의 연속 방정식은 다음과 같습니다 .
A 1 v 1 = A 2 v 2 — 방정식 1
A 1 = 단면적 1, A 2 = 단면적 2, v 1 = 단면 1에서의 유체 유속, v 2 = 단면 2에서의 유체 유속, A v = 유량(V / t) = 유출량.
식 1은 파이프 또는 유로를 따라 각 지점에서 유량이 항상 동일함을 보여줍니다. 파이프 단면적이 감소하면 유체 유량이 증가하고, 파이프 단면적이 커지면 유체 유량이 감소합니다.
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수도꼭지 입구의 일부를 닫으면, 열려 있을 때보다 물의 흐름이 더 강해집니다. 이는 수도꼭지 입구의 일부가 닫히면 단면적이 작아져 물의 유속이 증가하기 때문입니다. 하지만 중요한 것은 수도꼭지 입구의 일부를 닫든 열어 놓든 물의 흐름 경로상의 어느 지점에서든 유량은 항상 동일하다는 점입니다. 그렇다면 유체의 유량은 어떻게 변하는 것일까요?
그렇다면 강물의 흐름은 어떨까요? 강의 깊은 부분은 얕은 부분보다 단면적이 더 크기 때문에 깊은 부분의 유속은 얕은 부분의 유속보다 느립니다.
압축성 유체에 대한 연속 방정식
압축된 유체의 경우, 유체의 밀도는 항상 일정하지 않습니다. 즉, 유체는 압축될 때 밀도가 변합니다. 유체가 압축되지 않은 경우에는 유체의 밀도가 방정식에서 제외되지만, 이 경우에는 유체의 밀도가 방정식에 포함됩니다. 앞서 유도한 방정식을 참조하여 압축된 유체에 대한 방정식을 유도해 보겠습니다.
유입되는 유체의 질량은 유출되는 유체의 질량과 같으므로 다음과 같습니다.
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
유체 흐름 간격이 동일하므로 이를 제거할 수 있습니다. 방정식은 다음과 같이 변경됩니다.
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → 방정식 2
이 방정식은 압축된 유체에 대한 것입니다. 차이점은 유체의 밀도에 있습니다. 유체가 압축되면 밀도가 변합니다. 반대로 유체가 압축되지 않으면 밀도는 항상 같으므로 방정식에서 밀도 항을 제거할 수 있습니다.
예제 문제 1:
지름이 10cm인 파이프를 통해 물이 2m/s의 속도로 흐릅니다. 물의 유량은 얼마입니까?
알려진 바에 따르면:
파이프 직경 = 10cm
파이프 반지름(r) = 5cm = 0.05m
물의 속도(v) = 2 m/s
구함: 직불
솔루션 :
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m) 2 (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m 2 )(2 m/s)
Q = 0.0157 m³ / s
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예제 문제 2:
지름이 20cm인 파이프가 지름이 10cm인 다른 파이프에 연결되어 있습니다. 지름이 20cm인 파이프에서 물의 속도가 4m/s라면, 지름이 10cm인 파이프에서 물의 속도는 얼마입니까?
알려진 바에 따르면:
지름 1 = 20cm (r 1 = 10cm = 0.1m)
v1 = 4 m/s
지름 2 = 10cm (r 2 = 5cm = 0.05m)
Wanted : v 1
답변 :
Q 1 = Q 2
A 1 대 1 = A 2 대 2
( π r 12 ) (4m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 m) 2 (4 m/s) = (0.05 m) 2 (v 2 )
(0.01 m 2 )(4 m/s) = (0.0025 m 2 )(v 2 )
(0.04 m 3 /s) = (0.0025 m 2 )(v 2 )
v2 = 16 m/s
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