베르누이 원리와 베르누이 방정식

베르누이 원리와 베르누이 방정식에 관한 글

오토바이를 탈 때 입는 옷이 뒤로 부풀어 오릅니다. 때로는 바람이 세게 불면 문이 저절로 닫히기도 합니다. 바람은 집 밖으로 불지만 문은 집 안에 있는데 말이죠.

이는 베르누이 원리를 이용하여 설명할 수 있습니다. 다니엘 베르누이(1700-1782)는 위의 현상을 설명하는 데 사용할 수 있는 원리를 발견했습니다.

베르누이의 원리

베르누이의 원리에 따르면 유체의 유속이 빠른 곳에서는 유체의 압력이 낮고, 반대로 유속이 느린 곳에서는 유체의 압력이 높습니다. 오토바이를 빠르게 탈 때, 몸 앞쪽과 옆쪽의 공기 속도는 빨라지므로 공기압은 낮아집니다. 하지만 몸 뒤쪽은 앞쪽에 막혀 공기 속도가 빨라지지 않기 때문에 공기압이 높아집니다. 이러한 압력 차이로 인해 몸 뒤쪽의 공기압이 높아져 옷이 뒤로 부풀어 오르는 것처럼 보이는 것입니다.

바람이 불면 저절로 닫히는 집 문은 어떻게 된 걸까요? 집 밖의 공기는 집 안의 공기보다 더 빠르게 움직입니다. 따라서 집 밖의 기압은 집 안의 기압보다 낮아집니다. 기압 차이 때문에 집 안의 기압이 더 높은 쪽이 문짝을 밀어내는 것입니다. 다시 말해, 문짝은 기압이 높은 곳에서 낮은 곳으로 움직이는 것이죠.

베르누이 방정식

앞서 우리는 베르누이 원리에 대해 배웠습니다. 베르누이는 이 원리를 정량적으로도 발전시켰습니다. 베르누이 방정식을 유도하기 위해 유체의 흐름이 정상 상태이고 층류이며, 압축되지 않았고, 점성은 무시할 수 있을 정도로 작다고 가정합니다.

연속 방정식에 대한 논의에서 우리는 유체의 유량이 유동관의 면적에 따라 달라질 수 있다는 것을 배웠습니다. 앞서 설명한 베르누이 원리에 따르면 유체 압력 또한 유량에 따라 달라질 수 있습니다. 또한 유체 압력은 유체의 높이에 따라서도 달라질 수 있습니다. 압력, 유량, 그리고 유동 높이 사이의 관계는 베르누이 방정식에서 얻을 수 있습니다.

베르누이 방정식은 항공기 비행, 수력 발전소, 배관 시스템 등을 분석하는 데 매우 중요합니다. 베르누이 방정식을 일반적인 방식으로 유도하기 위해, 우리는 유체가 단면적이 일정하지 않고 높이도 다른 유동관을 통해 흐른다고 가정합니다. 베르누이 방정식을 유도하기 위해서는 유동관 내 유체에 일과 에너지 정리를 적용해야 합니다.

아래 그림의 유동관에서 불투명한 부분은 유체의 흐름을 나타내고, 흰색 부분은 유체가 흐르지 않는 것을 나타냅니다.

단면적 1(왼쪽)의 유체는 L1까지 흐르고 _{, 단면적 2(오른쪽)의 유체를 L2} 까지 밀어냅니다 . 오른쪽의 단면적 2가 더 작기 때문에 유동관 오른쪽의 유체 흐름 속도가 더 빠릅니다(연속 방정식 참조). 이로 인해 단면적 2(유동관 오른쪽)와 단면적 1(유동관 왼쪽) 사이에 압력 차이가 발생합니다(베르누이 원리 참조). 단면적 1 왼쪽의 유체는 오른쪽 유체에 압력(P1)을 가하고 일을 합니다_.

그러면 W1 _방정식은 다음 과 같이 쓸 수 있습니다.

W ₁ = p ₁ A ₁ L ₁

2번 구간(유동관의 오른쪽)에서 유체에 가해진 일은 다음과 같습니다.

W ₂ = − p ₂ A ₂ L ₂

음의 부호는 작용하는 힘이 운동 방향과 반대 방향임을 나타냅니다. 따라서 유체는 단면 2의 오른쪽으로 일을 합니다. 또한 중력은 유체에 일을 합니다. 위의 경우, 일부 유체 질량이 단면 1에서 L1만큼 단면 2로 이동하는데 _{, 여기서} L1은 단면 1의 유체 부피(A1L2)와 단면 2의 유체 부피(A2L2)의 합입니다 _. 중력 _이 한 일은 다음 과 _{같습니다.}

W ₃ = − mg (h ₂ − h ₁ )

W ₃ = − mgh ₂ + mgh ₁ )

W ₃ = mgh ₁ − mgh ₂

음의 부호는 유체가 중력 방향과 반대로 위쪽으로 흐르기 때문에 발생합니다. 따라서 유체에 가해진 순 일은 다음과 같습니다.

W = W ₁ + W ₂ + W ₃

W = P₁ A₁ L₁ - 피₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

일-에너지 정리는 시스템에 가해진 알짜 일은 운동 에너지의 변화량과 같다는 것을 나타냅니다. 따라서 일(W)을 운동 에너지의 변화량(EK₂ – EK₁)으로 대체 _할 수 _있습니다.

위 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

W = P₁ A₁ L₁ - 피₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

EK₂ - EK₁ = P₁ A₁ L₁ - 피₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

1⁄2 mv₂² – 1/2 mv₁² = P₁ A₁ L₁ - 피₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

L까지 흐르는 유체 덩어리₁ 단면 A에서₁ = L만큼 흐르는 유체의 질량₂ (단면 A)₂유체의 질량을 m이라고 하면, 부피는 A입니다.₁ L₁ 및₂ L₂ 어디 A₁ L₁ = A₂ L₂ (L₂ L보다 길다₁).

이제 위 방정식에 m = ρ AL을 대입합니다.

이것이 베르누이 방정식입니다. 베르누이 방정식은 일-에너지 원리에 기반하여 유도되었으므로 에너지 보존 법칙의 한 형태입니다.

P = 압력, ρ = 밀도, v = 유체의 속도, g = 중력 가속도, h = 지면으로부터 파이프의 높이.

위의 베르누이 방정식의 좌측과 우측 부분은 유로를 따라 임의의 두 점을 가리킬 수 있으므로, 위 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

이제 몇 가지 경우에 대해 베르누이 방정식을 복습해 보겠습니다.

정지 유체에서의 베르누이 방정식

베르누이 방정식의 특수한 경우는 유체가 정지해 있을 때, 즉 유체의 속도가 0일 때입니다. 따라서 v₁ ₌ v₂ ₌ 0입니다. 정지된 유체의 경우, 베르누이 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

만약 h₂ _– h₁ ₌ h라면, 이 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

p ₁ − p ₂ = ρ g (h ₂ − h ₁ )

p ₁ − p ₂ = ρ gh

높이가 같은 파이프에 대한 베르누이 방정식

파이프의 높이가 동일하다면 베르누이 방정식은 다음과 같이 바뀝니다.