일-운동 에너지 정리는 물체에 작용하는 알짜힘이 한 총 일(또는 노력)이 물체의 운동 에너지 변화량과 같다는 정리입니다. 알짜힘이 양의 일(알짜힘의 방향이 변위와 같은 방향)을 하면 물체의 운동 에너지는 증가합니다. 반대로 알짜힘이 음의 일(알짜힘의 방향이 변위와 반대 방향)을 하면 물체의 운동 에너지는 감소합니다.
W 전체 = EK 2 – EK 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2
자유낙하하는 물체 처럼 보존력 만 작용하는 경우 , 알짜힘은 보존력과 같습니다. 일-운동 에너지 정리는 전체 일의 형태로 나타낼 수 있으며, 보존력이 한 일은 운동 에너지의 변화량과 같습니다. 보존력이 양의 일을 하면(보존력이 변위 방향과 같은 방향이면) 물체의 운동 에너지는 증가합니다. 반대로 보존력이 음의 일을 하면(보존력이 변위 방향과 반대 방향이면) 물체의 운동 에너지는 감소합니다.
W c = EK 2 – EK 1 = ½ mv 2 2 – ½ mv 1 2
보존력이 물체에 한 일은 물체의 위치 에너지 변화량(음수)과 같습니다. 보존력이 양의 일을 하면 위치 에너지는 감소하고, 반대로 보존력이 음의 일을 하면 위치 에너지는 증가합니다.
W c = – (EP 2 – EP 1 ) = – mg (h 2 – h 1 ) = – mgh 2 + mgh 1 = mgh 1 – mgh 2
앞서 살펴본 내용을 바탕으로, 보존력이 물체에 한 일과 물체의 운동 에너지 및 위치 에너지 변화 사이에는 관계가 있는 것으로 보입니다. 보존력이 양의 일을 하면 운동 에너지는 증가하고 위치 에너지는 감소합니다. 반대로 보존력이 음의 일을 하면 운동 에너지는 감소하고 위치 에너지는 증가합니다.
W c = W c
EK 2 – EK 1 = EP 1 – EP 2
EP 1 + EK 1 = EP 2 + EK 2
EM 1 = EM 2
설명 :
EM 1 = 초기 역학적 에너지, EM 2 = 최종 역학적 에너지, EP 1 = 초기 위치 에너지, EP 2 = 최종 위치 에너지, EK 1 = 초기 운동 에너지, EK 2 = 최종 운동 에너지
문제 예시
1. 매끄러운 경사면 꼭대기(A 지점)에서 초기 속도가 없는 블록을 놓았다. 블록은 경사면 바닥(E 지점)까지 미끄러져 내려간다.
만약 AB = BC = CD = DE라면, 점 C, D, E에서의 블록 속도의 비율은 얼마일까요?
논의
알려진 바에 따르면:
AB + BC + CD + DE = 1
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
질문: 지점 C, D, E에 있는 블록들의 속도를 비교하시오.
자와브:
역학적 에너지 보존 법칙은 초기 역학적 에너지 = 최종 역학적 에너지라고 명시합니다.
초기 역학적 에너지 = 중력 위치 에너지
최종 역학적 에너지 = 운동 에너지
경사면 꼭대기에서 블록은 정지해 있으므로 운동 에너지는 0이고 중력 위치 에너지는 최대입니다. 블록이 경사면 꼭대기에서 바닥으로 이동함에 따라 중력 위치 에너지는 감소하고 운동 에너지로 전환됩니다. 경사면 바닥에 도달하면 블록의 운동 에너지는 최대가 되고 중력 위치 에너지는 0이 됩니다.
점 A에서의 중력 위치 에너지 = mgh = mg (4/4) = 4/4 mg
A 지점에서의 운동 에너지 = 1/2 mv² = 1/2 m( 0² ) = 0
점 B에서의 중력 위치 에너지 = mgh = mg (3/4) = 3/4 mg
점 B에서의 운동 에너지 = 1/2 mv²
점 C에서의 중력 위치 에너지 = mgh = mg (2/4) = 2/4 mg
점 C에서의 운동 에너지 = 1/2 mv²
점 D에서의 중력 위치 에너지 = mgh = mg (1/4) = 1/4 mg
점 D에서의 운동 에너지 = 1/2 mv²
점 E에서의 중력 위치 에너지 = mgh = mg(0) = 0
점 E에서의 운동 에너지 = 1/2 mv²
점 A에서의 역학적 에너지 = 중력 위치 에너지 + 운동 에너지 = 4/4 mg + 0 = 4/4 mg = mg
점 B에서의 역학적 에너지 = 중력 위치 에너지 + 운동 에너지 = 3/4 mg + 1/2 mv²
점 C에서의 역학적 에너지 = 중력 위치 에너지 + 운동 에너지 = 2/4 mg + 1/2 mv²
점 D에서의 역학적 에너지 = 중력 위치 에너지 + 운동 에너지 = 1/4 mg + 1/2 mv²
점 E에서의 역학적 에너지 = 중력 위치 에너지 + 운동 에너지 = 0 + 1/2 mv² = 1/2 mv²
C 지점에서의 블록 속도:
점 C에서의 역학적 에너지 = 초기 역학적 에너지 (일정한 역학적 에너지)
2/4mg + 1/2mv² = 4/ 4mg
1/2 mv 2 = 4/4 mg – 2/4 mg
1/2 mv 2 = 2/4 mg
1/2 mv 2 = 1/2 mg
mv 2 = mg
v 2 = g
v = √g
D 지점에서의 블록 속도:
점 D에서의 역학적 에너지 = 초기 역학적 에너지 (일정한 역학적 에너지)
1/4mg + 1/2mv² = 4 /4mg
1/2 mv 2 = 4/4 mg – 1/4 mg
1/2 mv 2 = 3/4 mg
1/2 대 2 = 3/4g
v 2 = 2 (3/4) g
v 2 = (6/4) g
v 2 = (3/2) g
v 2 = 1,5g
v = √1,5g
E 지점에서의 블록의 속도:
점 E에서의 역학적 에너지 = 초기 역학적 에너지 (일정한 역학적 에너지)
1/2 mv² = mg
1/2 v 2 = g
v 2 = 2g
v = √2g
C, D, E 지점에서의 블록 속도 비교:
√g : √1,5g : √2g
√1 : √1,5 : √2 (2를 곱함)
√2 : √3 : √4
√2 : √3 : 2
2. 다음 그림을 보세요!
두 물체가 A 지점에서 출발하여 경로를 따라 내려갑니다. 첫 번째 물체의 질량은 m₁ = 5 kg이고, 두 번째 물체의 질량은 m₂ = 15 kg입니다 . 중력 가속도가 g = 10 m s⁻²일 때 , B 지점에서의 운동 에너지 Ek₁ : Ek₂ 의 비율은 얼마입니까?
A. 1 : 2
B. 1 : 3
C. 1 : 9
D. 2 : 1
E. 3 : 1
논의
알려진 바에 따르면:
물체 1의 질량 (m1 ) = 5kg
물체 2의 질량 (m2 ) = 15kg
중력 가속도(g) = 10 m/ s²
점 A와 B 사이의 거리(h) = 40m – 30m = 10m
질문: 점 B에서의 운동 에너지 Ek 1 과 Ek 2 의 비교
답변 :
점 A에 있는 물체의 중력 위치 에너지는 점 B에서 측정됩니다.
EP 1 = m 1 gh = (5 kg)(10 m/s 2 )(10 m) = 500 줄
EP 2 = m 2 gh = (15 kg)(10 m/s 2 )(10 m) = 1500 줄
역학적 에너지 보존 법칙은 초기 역학적 에너지 = 최종 역학적 에너지라고 명시합니다.
초기 역학적 에너지 = 중력 위치 에너지
최종 역학적 에너지 = 운동 에너지
EP 1 = EK 1
500 줄 = EK 1
EP 2 = EK 2
1500 줄 = EK 2
예 1 : 예 2
500 : 1500
5 : 15
1 : 3
정답은 B입니다.
3. 사진을 보세요!
질량 m인 구슬이 초기 속도 없이 매끄러운 반원형 평면을 따라 A 지점에서 굴러 내려갑니다. B 지점에서의 구슬의 속도는…
A. 10ms-1
B. 2√10ms⁻¹
C. √ 10 m.s -1
D. 2√5ms -1
E. √ 5 m.s -1
논의
알려진 바에 따르면:
A 지점과 B 지점 사이의 높이 차이(h)는 4m - 2m = 2m입니다.
중력 가속도(g) = 10 m/ s²
대리석의 질량 (m) = m
질문: B 지점에서의 구슬의 속도는 얼마입니까?
답변 :
초기 역학적 에너지 = A 지점에서의 역학적 에너지 = 중력 위치 에너지 = mgh = (m)(10)(2) = 20m
최종 역학적 에너지 = B 지점에서의 역학적 에너지 = 운동 에너지 = 1/2 mv²
역학적 에너지 보존 법칙:
초기 역학적 에너지 = 최종 역학적 에너지
20m = 1/2 mv²
20 = 1/2 대 2
2 (20) = v 2
40 = v 2
v = √40
v = √(4)(10)
v = 2√10 m/s
정답은 B입니다.
4. 아래 그림과 같이 공이 미끄러운 트랙 위를 미끄러져 갑니다.
점 A에서의 공의 속도가 6 ms⁻¹이고 , 점 B에서의 속도가 √92 ms⁻¹이며 , 중력 가속도 g = 10 ms⁻² 일 때, 트랙 바닥에서 점 B까지의 높이는 얼마입니까?
A. 0,5m
B. 0,5√2m
C. 1m
D. √ 2m
동쪽 2,8m
논의
알려진 바에 따르면:
점 A에서의 공의 속도(vA ) = 6ms⁻¹
점 B에서의 공의 속도( vB ) = √92 ms⁻¹
중력 가속도(g) = 10 ms⁻²
높이 A (h A ) = 5,6미터
높이 B (h B ) = h
질문: 트랙 바닥에서 B 지점까지의 높이는 얼마입니까?
답변 :
트랙이 미끄러워서 마찰력이 없습니다. 따라서 물체에 작용하는 유일한 힘은 중력입니다. 중력은 보존력입니다. 보존력이 한 일은 트랙의 모양에 따라 달라지는 것이 아니라 위치 변화에 따라 달라집니다.
따라서 역학적 에너지 보존 법칙 공식을 사용하여 트랙 바닥에서 B 지점까지의 높이를 계산할 수 있습니다 .
초기 역학적 에너지 = 중력 위치 에너지
A 지점에 있을 때 공은 아직 움직이지 않으므로 속도가 0입니다. 공의 속도가 0이므로 공의 운동 에너지는 0입니다. 운동 에너지: EK = 1/2 mv² = 1/2 m(0) = 0.
하지만 공은 바닥에서 5,6미터 높이에 있으므로 중력 위치 에너지를 가지고 있습니다. 중력 위치 에너지: EP = mgh = m (10)(5,6) = 56 m
초기 역학적 에너지 = 중력 위치 에너지 + 운동 에너지 = 56m + 0 = 56m
최종 역학적 에너지 = 중력 위치 에너지 + 운동 에너지
점 B에 있을 때 공의 높이는 h입니다. 중력 위치 에너지: EP = mgh = m (10) h = 10 mh
점 B는 점 A보다 훨씬 아래에 있으므로 공은 여전히 일정한 속도로 움직이고 있습니다. 공이 일정한 속도로 움직이고 있으므로 운동 에너지를 가지고 있습니다. 운동 에너지: 운동 에너지(EK) = 1/2 mv² = 1/2 m( √92 ) ² = 1/2 m ( 92 ) ² = 46 m
최종 역학적 에너지 = 중력 위치 에너지 + 운동 에너지 = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
역학적 에너지 보존 법칙:
초기 역학적 에너지 = 최종 역학적 에너지
56m = m(10시간 + 46)
56 = 10시간 + 46
56 – 46 = 10시간
10 = 10시간
h = 10/10 = 1미터
정답은 C입니다.
질문 출처:
고등학교/직업고등학교 물리 국가시험 문제
